三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1化简无理式，进而解决相关问题．
例 函数f(x)=√x?3+√12?3x的值域为()
A．[1,√2]
B．[1,32]
C．[1,√3]
D．[1,2]
——提问者：张振 2016-09-22 20:39
分析 考虑到(√x?3)2+(√4?x)2=1，可用三角换元对原题进行变形求解．
解 （解答者：石家庄昶乐）
题中函数可变形为f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt3\cdot\sqrt{4-x},由(\sqrt{x-3})^2+(\sqrt{4-x})^2=1，可令\sqrt{x-3}=\sin\theta,\sqrt{4-x}=\cos\theta,其中\theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]，此时题中函数化为f(\theta)=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta,其中\theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]，结合辅助角公式，得f(\theta)=2\sin\left(\theta+\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right), 其中 \theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]，因此，f(\theta)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．
总结
(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；
(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出\theta的合理范围；
练习
1．求函数y=\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}的值域．
——提问者：燕子 2016-09-22 10:02
2．设a,b>0且a+b=5，则\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}的最大值为______．
——提问者：大雨瓢泼 2016-08-15 13:48
3．若不等式\sqrt{x}+\sqrt{y}\leqslant k\cdot\sqrt{2x+y}对任意正实数x,y成立，求k的最小值．
——提问者：封神 2016-09-26 16:26
答案
1．\left[\sqrt3,2\sqrt3\right]；
2．3\sqrt2；
3．\dfrac{\sqrt6}{2}．
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