本文作者我爱数学．
近读《数海拾贝》上的一篇文章《还是熟悉的配方，还是原来的味道》，受益匪浅，但又觉得意犹未尽，作了如下思考．原文的例题1如下：
已知点P(x,y)为曲线xy?52x?2y+3=0上一点，求x2+y2的最小值．
原解答采用拉格朗日配方法进行了配方，得到x2+y2=x2+y2+(xy?52x?2y+3)=(x+12y?54)2+34(y?12)2+54.从而有x2+y2?54且当x=1,y=12时取到等号．
为此引出了思考一 为什么只添加一倍的零？
我们添加λ倍的零，试试看：
x2+y2=x2+y2+λ(xy?52x?2y+3)=x2+(λy?52λ)x+y2?2λy+3λ=(x+2λy?5λ4)2+(1?λ24)y2+λ(54λ?2)y+λ(3?2516λ).
若1?λ24?0，即?2?λ?2，此时当y=λ(2?54λ)2(1?λ24)=λ(8?5λ)2(4?λ2),x=54λ?λ2y=λ(5?2λ)4?λ2时，x2+y2有最小值．
又点P(x,y)满足xy?52x?2y+3=0，故λ(5?2λ)4?λ2?λ(8?5λ)2(4?λ2)?52?λ(5?2λ)4?λ2?2?λ(8?5λ)2(4?λ2)+3=0,整理得{\lambda}^{4}-18{\lambda }^{2}+41\lambda-24=0,用试根的方法得，\lambda 可以取1，此时x=1,y=\dfrac{1}{2}.
思考二 有没有其它方法?
因式分解的功夫可以影响一个人的解题能力，对xy-\dfrac{5}{2}x-2y+3=0可作如下分解：(x-2)\left(y-\frac{5}{2}\right )=2,从而有y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}.可以断言：这是一条双曲线，于是问题转换为：
曲线y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}(x<>上的点到原点距离的平方的最小值．
为方便起见，先介绍一个引理．
引理 方程{{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-5t-4=0在(-\infty ,0)上仅有一个根．
设点P(x,y)为曲线y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}(x<>上一点，其与原点连线的斜率为{{k}_{1}}=\dfrac{\frac{5}{2}+\frac{2}{x-2}}{x},点P(x,y)处的切线斜率为k_2=-\dfrac{2}{(x-2)^2}，当{{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1时，P到原点的距离最小．从而有\frac{\frac{5}{2}+\frac{2}{x-2}}{x}\cdot \frac{2}{{{(x-2)}^{2}}}=1,
令t=x-2<>得：\frac{5+\frac{4}{t}}{t+2}\cdot \frac{1}{{{t}^{2}}}=1,即{{t}^{4}}+2{{t}^{3}}-5t-4=0,由引理知t=-1，x=t+2=1，y=\dfrac{5}{2}+\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{1}{2}．
故P到原点的最小距离为\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}，其平方为\dfrac{5}{4}．
引理的证明 显然t=-1是方程的根，于是我们可以因式分解得：(t+1)({{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t-4)=0.只需证明f(t)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t-4(t<>没有零点．
对f(t)求导得f'(t)=3{{t}^{2}}+2t-1=(t+1)(3t-1),所以f(t)在(-\infty ,-1)上单调递增，在\left(-1,\dfrac{1}{3}\right )上单调递减．
故f(t)在\left(-\infty ,\dfrac{1}{3}\right )上的极大值为f(-1)=-3．引理得证．
小编点评 本文的思考一的解法需要很强的计算能力，有兴趣的读者可以尝试，对于符号的运算能力是高中要求的一个基本能力，这样的能力的培养与提升只能亲自动手去多算多练，当然对化简变形方向的思考与积累也必不可少．（说明：2.22-2.28之间没有读者投稿，本篇投稿是之前的，后面遇到某周没有投稿的情况，本栏目会推出之前的投稿，也可能暂停到有合适的投稿时继续）
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