数海拾贝

证明π是无理数

2015年01月19日 意琦行 数海拾贝

圆周率用字母π（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值．它是一个无理数，即无限不循环小数．在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算．而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算．即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百位．那么如何证明π是无理数呢？

证明：首先证明：

∫t0f(u)sinudu=[F′(u)sinu?F(u)cosu]|t0,

其中

F(x)=f(x)?f”(x)+f(4)(x)??+(?1)nf(2n)(x)+?

这是容易的，只需要兑右边求导然后抵消就可以了．

若π不是无理数，则令π=ab，其中a,b为互素的自然数．

取f(x)=xn(a?bx)nn!,t=π,

则

∫t0f(u)sinudu=∫π0xn(a?bx)nn!sinxdx.

考虑右边的积分函数，当0xπ时，

0xn(a?bx)nn!sinxanxn(π?x)nn!.

当n足够大时，

anxn(π?x)nn!1π,

从而0∫π0xn(a?bx)nn!sinxdx1.

再看右边，

[F′(u)sinu?F(u)cosu]|t0=F(π)+F(0).

很显然，无论F(π)还是F(0)，它的每一项均为整数，因此F(π)+F(0)为整数．

这样就导出了矛盾，因此π是无理数．

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