从一道高考题谈复习课的教学设计

浙江省宁波市北仑区柴桥中学　(315809)　徐泽绕

1.问题提出

2015年高考浙江省理科数学第18题为：

(问1)在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

.

(1)求tanC的值;

(2)若ΔABC的面积为3，求b的值.

该题是一个常规的解三角形问题，应该是一个送分题，但根据笔者所在学校学生反映第一小题的解答并不顺利，甚至个别学生有一种无从下手的感觉.无独有偶，2011学年宁波市高一第二学期期末测试中的最后一道填空题，如下：

(问2)在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若

,且a2,b2,c2成等差数列，则tanA=　　　.

仔细对比一下两题，简直如出一辙，而且问2在这届学生高一的时候作为模拟试卷已经做过，为什么过了两年，经历高三的几轮复习还是会有问题呢？是不是我们的复习出现了问题？是不是我们太注重解题的技巧，太注重归纳题目的类型了呢？经过认真反思笔者认为，这应该是一种数学思想方法的缺失，数学思想方法指导解题的真谛还没有被我们的学生真正领会，导致的后果是，教师讲了无数遍，学生按图索骥，不断模仿，并没有真正理解和掌握这类题的本质.每次碰到都是一种新面孔，每次碰得跌跌撞撞，甚至答完题自己还云里雾里不知为何这么答.这种现象对我们高一阶段的复习和以后的学习都有很好的警示作用.恰逢高一刚好又是期末阶段，正余弦定理还是必考内容.因此为了让学生能站在理论的高度，在数学思想的指导下找到解题方法，笔者设计了一堂正余弦定理复习课.期盼同行斧正.

2.知识回顾　确定目标

正余弦定理是解三角形的两大利器.其分别可以解决以下四类最基本问题：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角；③已知两边和其夹角；④已知三边.只要符合上述四类情况必能求解三角形，而且已知三角形涉及三个角和三条边六个量，在上述四种情况下显然已知三个量就可以求出另外三个量(已知三个角除外)，这种“知三求三”的解法就是解方程的思想，而且我们知道一个公式就是一个方程，有公式的地方必然有方程.带着方程的思想去解题，这就是本节课的第一个目标.那么在上述条件不满足，即已知条件不够的情况下呢？显然不能求值，不能求值的情况下往往是求最值或者范围，那么如何求范围呢？首先我们想到的是函数，因此在函数思想的指导下解题是这节课的第二个目标.

3.思想引领　变式探究

例1　(2010年浙江文)在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)求sinA+sinB的最大值.

设计意图

(过程略);(2)由已知条件可得三角形的六个条件中只知道角C,从解方程的角度看条件不够，无法解三角形.所以只能求范围，如何求sinA+sinB的最大值，高一还没有学过基本不等式，因此学生容易想到转化为求函数最大值，利用诱导公式把sinA+sinB转化为求

)的最大值.

变式(1)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

,求a+b的最大值.

变式(2)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

,求ΔABC的面积最大值.

设计意图：变式(1)中虽然增加了一个条件

，但还是没有达到三个条件，无法解三角形，用函数的思想求a+b的最大值还是最好的方法.利用正弦定理

(sinA+sinB)，所求问题即转化为函数问题，即

),由例1即得.

同理变式

),在利用正弦定理和诱导公式的情况下，还是转化为关于A的三角函数的值域问题.即

,然后求之.

变式(3)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

,求a2+b2最大值.

变式(4)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

,求AB边上的中线CD的范围.

设计意图：变式(3)进一步让学生理解在解方程条件不够的情况下，求助函数的思想解决三角形中最值和范围问题是解决这类问题的好方法.变式(4)可以转化为变式(3),即中线

.

反思总结：通过上例和几种变式感受到题目中最大的特征就是只给了两个条件，即“一边一角”.不符合解三角形的四种基本类型.进而体会运用函数的思想求解三角形中的范围和最值问题，那么根据“一边一角”我们只得到一个方程，即c2=3=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,若要解三角形还应补上什么样的条件呢？于是有：

变式(5)　(2014浙江理科18改编)在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

且

,求ΔABC的面积.

设计意图：在

的基础上又加了

且

，所以A<C，故本题就转化成了上述四种类型中的“两角一边”,从而通过正弦定理即可求得.

变式(6)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

,求b.

设计意图：加上一边a=2，在a2+b2-ab=3基础上已知a就很容易求得b，也就是转化为“两边及其一边对角”问题求解，当然也可去掉c这条边，补上a,b转化为上述四种类型中的“两边夹角”问题求解.除了再补成解三角形的四种基本类型即变式(5)，变式(6)以外，还可运用方程思想再列出关于a和b的另外一个式子，从而获解.这样又可得以下一系列变式题.

变式(7)　(2012浙江文18改编)在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

,求a,b.

变式(8)　(2014浙江文18改编)在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若b=4，S=6,求边长c.

变式(9)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

,求a,b.

变式(10)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若

,求a,b.

变式(11)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若c=4，a+b=6，求ΔABC的面积.

变式(12)　在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设S为ΔABC的面积，满足

).(1)求角C的大小；(2)若2b=a+c，S=6,求a,b.

4.问题解决

通过以上的变式，再来看问1.

分析：由已知

可得

bc,又因为

c2,显然三个未知数两个方程，可以确定不可能解得a,b,c.因此可以排除试图解出a,b,c的念头，又因为求tanC，因此思考在不知道三边的情况下怎么求出角，可以分为两种情况：

法1：由

解得

,容易得到

，所以

.

当三角形三条边中只涉及两个方程时虽然解不出方程，但是其中任何一边都可以表示另外两边，换言之由三条边的比例可以得到，同样也能求出三个角的三角函数值，但可以肯定任何一条边都不可能求得.

法2：求边行不通的情况下可以化角，运用正弦定理

c2,可得

sin2C,即

sin2C,仅得一个三角方程但涉及的角有两个，考虑到sinB=sin(A+C)，故得到

，显然一个未知数一个方程展开化简易得

，即tanC=2(第二问略).

5.一点感言

实际教学中我们经常会碰到这样的现象，每到期中、期末复习，我们会发下很多针对性的练习，来应对兄弟学校的统测和地区性统测等，希望通过大量的训练题来提高学生的应试水平，从而取得好成绩.每当这时往往出现学生做题做得叫苦连天，老师练习讲得也厌倦疲乏，考完以后转入下一模块学习时，学生早已忘了不知学的什么东西现象.长此以往，教师身心疲惫，学生学而生厌，严重抑制了创新精神和后续学习的能力，这对师生都是一种“摧残”.笔者认为，题是做不完，也讲不完的，如何提高学生的学习能力和学习兴趣，应该让他们站在理论的高度来看待解题问题，而运用数学思想指导解题则是让学生掌握解题方法的理论武器，值得我们在平时的教学中去探索与加强.