江苏省常熟市海虞中学 申月
与圆锥曲线的切线有关的问题,是近年高考中圆锥曲线部分比较常见的一类题型,其实质还是考查直线与圆锥曲线的位置关系问题,只是条件更加特殊,形式更加创新新颖,破解方法更加多样,主要以选择题或填空题为主,难度一般为中等偏上层次.
1.问题呈现
几何角度的破解策略:根据椭圆的图形的旋转的直观想象,结合几何的对称性确定图形关于直线y=x对称,进而确定公切线方程的斜率,在此基础上结合切线方程的性质或方程的判别式等方法来处理.
方法2:(切线方程性质法)
思维视角三:导数角度
导数角度的破解策略:将椭圆方程函数化,借助切线特征,利用公切线所对应的导数的几何意义,通过求导处理,结合切点处的导函数值即为切线的斜率,建立关系式,转化为导数的相关问题来分析与处理.
思维视角四:切线性质角度
切性性质角度的破解策略:熟练理解与掌握过曲线上一点的切线方程的基本形式,巧妙设出切点,确定对应的切线方程,并结合题目条件来建立相应的关系式,进而求解与切线有关的平面解析几何问题.
方法4:(切线性质法)
点评:切线性质角度破解此类圆锥曲线中与切线有关的平面解析几何问题,关键是巧妙利用过曲线上一点的切线方程的基本形式,借助切线方程的设置或确定来合理转化与应用,可以有效简化解题过程,但技巧性强,要求熟练掌握相关的切线性质,需要具备较好的逻辑推理、数学运算能力与素养.
3.变式拓展
探究1:结合以上问题及其对应的破解过程,将椭圆方程一般化处理,进行探究与拓展,可以得到以下一般性的结论.
与圆锥曲线的切线有关的问题,是直线与圆锥曲线的位置关系的特殊形式,是平面几何与平面解析几何之间的有机联系与交汇融合,更是平面解析几何的重点与难点之一,历年高考数学试卷中的热点之一.紧紧围绕破解此类问题的一般思维角度与思路策略:(1)代数角度;(2)几何角度;(3)导数角度;(4)切线性质角度等,掌握思想与方法,形成知识体系与能力,不断提升数学品质,培养数学核心素养.
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