椭圆的离心率:0<e<1;
双曲线的离心率:e>1;
抛物线离心率:e=1。
在求解离心率e,
椭圆中存在:a2=b2+c2
双曲线中存在:c2=a2+b2
这两个关系对于求解椭圆与双曲线的离心率是非常重要的。
已知标准方程或a、c易求时,可利用离心率公式来求解。例1、过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )解:易知A(-1,0),则直线的方程为。直线与两条渐近线和的交点分别为B、C,又|AB|=|BC|,可解得,则故有,从而选A。例2、已知椭圆C的短轴长为6,左焦点F到右端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于多少?
解:
椭圆与双曲线求离心率还有如下变形
例3、已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )分析:本题已知,不能直接求出a、c,可用整体代入套用公式。解:由(其中k为渐近线的斜率)。这里,则,从而选A。由圆锥曲线的统一定义(或称第二定义)知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比,特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例4、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )解:由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径,设焦点为F,则轴,知|MF|是通径的一半,则有。由圆锥曲线统一定义,得离心率,从而选B。四、(等量关系)利用题目中所给的几何关系或者条件得出a,b,c的关系,然后根据b2=a2-c2(椭圆)或者b2=c2-a2(双曲线),消除b,得到关于a,c的方程,从而得到e的方程,继而解出e。
例5、设双曲线
的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于多少?解:
例6、设双曲线(0<a<b)的半焦距为c,直线L过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线的距离为
,则双曲线的离心率为多少?
解:
根据题设条件,借助a、b、c之间的关系,构造出a、c的齐次式,进而得到关于e的方程,通过解方程得出离心率e的值。例7、已知、是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )解:如图,设的中点为P,则点P的横坐标为,由,由焦半径公式,即,得,有,解得(舍去),故选D。例8、已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是多少?
解:
例9、设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,点A在双曲线上,且AF2与x轴垂直,若,则双曲线的离心率是多少?
解:
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