许兴华——教学探讨：有时候某些数学老师“折腾”的数学题或解法真的好吗？？

从一道“名师”对问题的解答题谈起

最近，有好几个学生问了笔者一个概率问题：

【题1】口袋里有2个黑球和2个白球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一个球。试求“第二个人摸到白球”的概率。

大家且看看网上的“名师精讲”：（下面是截图）

原来，这位“数学名师”的精讲至少需要用五分钟来讲清这个问题！！

其实，中学的古典概型说的是“等可能事件”发生的概率。这个问题，4个人中任何一个人摸到白球的概率都是1/2。这就是“抽签是公平的”的基本原则！本来2~5秒钟就能解决的问题，不知为何这位名师要足足讲了5分钟？

    所以，有时候我想：某些“数学名师”对问题还真的能折腾！不是吗？

2.类似的问题如下：

【题2】口袋里有4个黑球和n-4个白球，这n个球（n为大于4的自然数）除颜色外完全相同，有四个人按顺序依次从中摸出一个球；试求“第k个人摸到黑球”(0<k<5)的概率。

【说明】大家瞧瞧，口算就可以了：这个问题的答案是不是4/n ?

但是，如果n=200，那么用上面【题1】的解法，学生是不是很崩溃呢？

也可以这样来思考这个问题：

用n个球来填如图所示的四个位置：

3.网络题或书上题举例

现在，我们再继续来选择网上或书上一些欠妥的（或者解答不太理想的）数学题目加以剖析。

【点评】【题3】与下面的【题4】和其详解均选自某著名数学网站上面的高中数学测试题。请问：命题的数学老师到底想考察学生的什么知识点？

关于“函数的单调性问题”，我们都知道，当定义域包含区间的端点时，单调区间既可取端点，也可以不取端点，因此，【题3】的A、B、C、D中任何一个答案都是正确的答案！这样出题，至少说明命题老师没有经过缜密的思考吧？

【点评】上面的题4，命题者是否想考察高中数学中的“零点存在性定理”？
万万没有料到，此题选A竟然也没有任何问题~而且用零点存在性定理还无法作出正确的判断？令f(x)=0可得：ln(x+1)=2/x 。天啊！原来函数f(x)在(-1，0)内还有另一个零点！（详见下图）图中的a、b均为零点。

 

在目前三大中小学数学搜题软件《小猿搜题》、《作业帮》和《学霸君》上都给出了下面的解答（前面两个软件，还给出了某些教师的视频讲解）：

（错误的题目，还给出了某些教师的视频讲解）：

这个题目，目前正在广泛地流行于网络，也经常被全国各地的高中数学作为月考、高考数学模拟题的一个选题——只可惜：这是一个错误的题目！

这是因为：满足题意的f(x)根本就不是一个函数！下面就是具体的分析：

题目都是错误的了，这样一来，上面的解答就是错误的了（读者可以想一想：为什么呢？）

【参考阅读】对一道普遍流行的高中数学错题的纠正