邹生书——从八省联考数列大题研讨二阶线性递推数列通项公式

湖北省阳新县高级中学      邹生书

二阶递推数列问题在课改前即大约2010年前一度成为高考的热点，并且难度居高不下，是高考试题的一道亮丽风景。课改后的新课标数列试题难度下降，主要考查等差数列和等比数列，不再考查或很少考查二阶递推数列，似乎从此数列无难题。这次2021年新高考的八省联考，却出乎意料地在第一大题的位置就考查了二阶线性递推数列。其实这并不意外，实际上，二阶线性递推数列已经出现在普通高中课程标准实验教科书上了。

题在试卷，根在课本。八省联考这道数列题与课本题目如出一辙，课本题目只有一问，是通项公式的探索性试题，而八省联考数列题，设置了两问，实际上第1问就是为第2问题求通项设置的台阶，这样就大大减小了试题难度。另一方面，联考数列题相对于课本题目来说，要特殊一些，课本题目更具有一般性。因此，本文先通过对课本数列题进行解法研究，并进行一般研究，从中提炼出求二阶线性递推数列通项公式的求解通法和一般性结论——特征根法和特征根通项公式。然后用所得公式求解二阶线性递推数列的通项公式，体验公式在简化运算缩短解题长度的作用，最后再迂回过来解答这道八省联考数列题。

希望本文能使读者对特征根法的来龙去脉以及所蕴涵的数学思想方法有一个比较全面而深刻的认识。

1.考题再现

这是2021年1月23日下午3点到5点的八省联考数学试题的第17题，这是一道二阶递推数列通项公式的求法问题。这道题目源于课本，与普通高中课程标准实验教科书人教版必修5第69页复习参考题B组第6题如出一辙，但有所变化，是由这道课本题目的改编，递推关系完全相同，设置两问题，第1问证明等比数列比较容易，第2问需要用待定系数法构造等比数列或常数数列求解，有一定难度。但与课本原题相比，由于考题设置了两问题，等于设置了台阶，无形中降低了难度。

2.课本数列复习题的解题思路分析和解法研讨

普通高中课程标准实验教科书人教版必修5第69页复习参考题B组第6题如下：

分析：已知一阶递推式求数列通项公式这是我们所熟悉的问题，所用思想方法是：用一个待定系数构造等比数列将问题转化为求等比数列的通项问题。对于二阶递推式求通项问题，我们可采用方法类比，用两个待定系数将求二阶线性递推数列通项公式的问题，转化为求一阶线性递推数列通项公式的问题来处理。

法3：我们知道，若给出了一个数列的前两项和数列的一个二阶线性递推式，那么由此我们可求出这个数列的各项，也就是说这个数列的每一项都是唯一确定的，因此数列的通项也是唯一确定的，故可把上述解法所得①②两式中的a_n,a_n-1当作未知数，联立成方程组解之得

点评：以上三种解法都是将二阶线性递推式，通过待定系数法转化一阶线性递推式，法1、法2是独立选用其中一个一阶线性递推式，再由一阶线性递推式求出数列的通项。法3是用联系的观点方程的思想，将两个一阶线性递推式联立成方程组，通过解方程组求出数列的通项公式。显然法3运算量小解法简单，用法3对一般的二阶线性递推数列的通项公式进行研究，可得如下一般性结论。

3.二阶线性递推数列的特征根法与特征根通项公式

  4.应用二阶线性递推数列特征根公式解题举例

注：求二阶线性递推数列的通项公式,既可用本文两个定理的结论直接求解,也可用证明定理所用的待定系数法和方程思想求解。

评注：本题解法由浙江省平阳中学洪一平老师提供。

5.解析八省联考数列题

  法2：另起炉灶，重新构造

  法3：用特征根通项公式简解