(1)问题发现如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由;(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB
(2015·滑县一模)(1)问题发现
如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由;
(2)类比引申
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系
∠B+∠D=180°
时,仍有EF=BE+DF;
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,猜想BD、DE、EC满足的等量关系,并写出推理过程.
【分析】(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,证出△AFG≌△AFE,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;
(2)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,证出△AFE≌△AFG,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;
(3)把△ACE旋转到ABF的位置,连接DF,证明△AFE≌△AFG(SAS),则EF=FG,∠C=∠ABF=45°,△BDF是直角三角形,根据勾股定理即可作出判断.
【解答】解:(1)理由是:如图1,
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图1,
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
则∠DAG=∠BAE,AE=AG,
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF,
即∠EAF=∠FAG,
在△EAF和△GAF中,
,
∴△AFG≌△AFE(SAS),
∴EF=FG=BE+DF;
(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图2,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
在△AFE和△AFG中,
,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF,
故答案为:∠B+∠ADC=180°;
(3)BD
2+CE
2=DE
2.
理由是:把△ACE旋转到ABF的位置,连接DF,
则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠CAE=45°,
又∵∠FAB=∠CAE,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
则在△ADF和△ADE中,
,
∴△ADF≌△ADE,
∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°,
∴∠BDF=90°,
∴△BDF是直角三角形,
∴BD
2+BF
2=DF
2,
∴BD
2+CE
2=DE
2.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,正方形的性质的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形,综合性比较强,有一定的难度.
声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。答题:zhjh老师 2015/5/16
本站仅提供存储服务,所有内容均由用户发布,如发现有害或侵权内容,请
点击举报。