【知识点】圆的标准方程与一般方程

注：底部已添加评论功能

圆的标准方程

圆的标准方程

【知识点的认识】

1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．

2．圆的标准方程：

（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．

 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：

 x²+y²=r²．

其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．

 

【解题思路点拨】

已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：

（1）根据题意设出圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²；

（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；

（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．

另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．

 

【命题方向】

可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化

例1：圆心为（3，-2），且经过点（1，-3）的圆的标准方程是（x-3）²+（y+2）²=5

分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．

解答：设圆的标准方程为（x-3）²+（y+2）²=R²，

由圆M经过点（3，5）得R²=5，从而所求方程为（x-3）²+（y+2）²=5，

故答案为（x-3）²+（y+2）²=5

点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．

例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）

A．（x-2）²+（y-1）²=1

B．（x-2）²+（y+1）²=1

C．（x+2）²+（y-1）²=1

D．（x-3）²+（y-1）²=1

分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．

解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），

由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=|4a?3b|／5=r=1，

化简得：|4a-3b|=5①，

又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），

把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-1／2（舍去），

∴圆心坐标为（2，1），

则圆的标准方程为：（x-2）²+（y-1）²=1．

故选：A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．

点与圆的位置关系

【知识点的知识】

点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．

①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；

②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；

③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．

圆的一般方程

圆的一般方程

【知识点的认识】

1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．

2．圆的一般方程：  x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）

     其中圆心（D／2，E／2），半径

3．圆的一般方程的特点：

（1）x²和y²系数相同，且不等于0；

（2）没有xy这样的二次项．

以上两点是二元二次方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圆的必要非充分条件

轨迹方程

【知识点的认识】

1．曲线的方程和方程的曲线

在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．

2．求曲线方程的一般步骤（直接法）

（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；

（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；

（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；

（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】

（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．

（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．

（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x₀，y₀），即得到x₀=f（x，y），y₀=g（x，y），再将x₀，y₀代入M满足的条件F（x₀，y₀）=0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．

（4）待定系数法

（5）参数法

（6）交轨法．

二元二次方程表示圆的条件

【知识点的知识】

1、圆的定义：

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．

2、圆的标准方程：

（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）， 圆心为（a，b），半径为r；特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x²+y²=r²． 

3、圆的一般方程：

圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0．

当D²+E²-4F＞0时，表示圆心（D／2，E／2），的圆；

当D²+E²-4F=0时，表示点（D／2，E／2），

当D²+E²-4F＜0时，不表示任何图形．

因此二元二次方程表示圆的条件是D²+E²-4F＞0．

注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的方程表示圆的条件：

①A=C≠0；

②B=0；

③D2+E2-4F＞0

关于点、直线对称的圆的方程

【知识点的知识】

（1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可．

（2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标．