从数的分类看数学未来
易亚苏
数是抽象概念,通常用一系列符号代表。数,心灵之音,思维之花。主流思维将数分为了狭义数和广义数。代表狭义数的符号可分三类,一类是单纯数字,如自然数1、7等;一类是数字与运算符号组合,如-4/5、3+2i等;一类是特定符号,如自然对数的底数e、圆周率π等。
数的诞生是人类社会的必然。人类文明初期,数数让人建立起有和无的概念,有和无概念的区别,使数的概念在人脑海逐渐从朦胧走向清晰。人创造了数,认识了数,却并不能完全把握数。数自诞生其定义就一直在不断延伸,数的家族已经十分庞大,但数依然未给人类展示全貌,数的魅力和奥秘或在于此。从结绳记事或刻划痕迹到不同符号,再到系列数字,数走过从生活记录到数字初创的漫长之途;从单一数字到诸多符号组合,数走上了从清晰简单到模糊繁杂的奇异之旅。数的旅程如同自然数从0到1,出发之后就没有尽头,谁也看不清、看不到数的终点。也许正是因为如此,才使得数在后期出现不置可否的奇形怪状,有的数可写,有的数不可写;有的数清晰了然,有的数模糊茫然;有的数静默不变,有的数动荡不安。数形同陌路在阑珊处、捉摸不定在回首间,原本简单明了的数,一路演变千百度,分类得众里寻他,颇有一丝莫衷一是和无可奈何。
数学是人类一门古老的学问,实用性常是后发于人;数学是人类交流统一的系统,一致性总在与日俱增。数是人类感恩自然反馈的回赠,虽然人类有自然数,但自然并没有人类的数。可是,一旦离开数,自然将变得模糊不清。数点亮人心灵,数学统一人意识。数学无论从起源至今还是未来、无论出自地球哪个角落,人们都能够心领神会,融会贯通。数学自然的高度统一体现了理性,也因为高度统一和其在众多学科中的基础地位,数学的理性其他学科无法比拟。理性是一种静默状态,好像宇宙包容寂静祥和。理智、清醒、冷静、客观、细致、周全、透彻、明晰等汇聚一起,描述的也只是理性表象,理性似乎具备先知,这种能力源自数学对人的培养,特别是代数和几何对思维的潜移默化。测量正方形对角线长度,人发现了数的不可通约性,这与习惯观念冲突,从此发明了无理数,也引起了第一次数学危机;计算曲线长度及曲线构成面积,人发明了无穷小量的近似测算方法,进而发明微积分,也带来了第二次数学危机;数学逻辑推理,人发现在一般集合理论的边缘会存有悖论,通俗而言,这样的悖论是无穷大延伸没有了出路,悖论带来了第三次数学危机。理性看待数学危机,您不难发现数学危机都是人为,然而,我们至今不清楚为什么会出现数学危机的原因,只能一次次被动应对。第三次数学危机至今依然没有终结,而且此次危机摇晃着数学大厦,撼动了科学特别是物理学基础。数学是理性的女神,“数学是科学的皇后”,第三次数学危机悬而未决,必然导致科学将出现越来越多的分歧和疑惑,这样的困扰也将让越来越多的人自觉去理性思考过去的认知体系,反省科学主义对自然的扭曲和对人的误导。究竟为何在数学发展的过程中,会接二连三出现危机?发生数学危机是必然吗?笔者认为出现数学危机是人类学说的必然。
三次数学危机有一个共同特点,都与无穷数有关。第一次数学危机根源在无穷,第二次数学危机根源在无穷小,第三次数学危机根源在无穷大。三次数学危机从侧面反映数学对曲线缺乏透彻的了解和深入的研究。为什么每次数学危机都与数的无穷相关?无穷到底是个什么东西?无穷是集合,带有明显的哲学基因。无穷既有包容含义,也有统一内涵。无穷小代表内不可分,无穷大代表外没有边;内不可分描述的是物质终极状态,外没有边陈述的是宇宙固有形态。这两种态都是人类可望而不可即。可见,数学所揭示的内涵非常广泛深远,它的发展越来越体现数学的价值,也越来越呈现了思维的奇幻。自然大宇宙与思维小宇宙,往往似是而非,却也柳暗花明。本则日记给出一个命题:一个半径无穷大的圆还是曲线吗?圆是平面中到一个定点的距离为定值的所有点集合。所谓定点是圆心,定值距离是半径,圆是闭合的曲线。笔者冥思半径无穷大的圆到底是曲线还是直线?这样的冥思不得不令人想起老子哲言:名可名,非常名。半径无穷大的圆在概念上无疑是曲线,而在形式上似乎是直线。概念不能完全表达内容形式,概念与内容形式出现意外偏差,宇宙和思维原来还存在如此奇妙。当条件发生数的巨变,原来的概念会出现莫可言状的概念聚变。一个半径无穷大的圆还是曲线吗?思维张力膨胀,超出思维概念承受,思维体系受到思维概念挑战。笔者继《什么是东方文明的博大精深?》之后,再次感叹中国古老哲学博大精深。科学的发展在呼唤哲学与数学统一,呼唤东方古老哲学复兴。数的体系左右数学思维,数学思维影响人类认知,或许以上所谓“概念聚变”将成为下一次数学危机。其实,这样数学危机的端倪,早已呈现在所谓“光线弯曲”、所谓“时空弯曲”、所谓“平行宇宙”的深处,皆不过“概念聚变”而已。如果不警惕“概念聚变”,“概念聚变”将蚕食吞噬整个认知体系。人类进步,思维也在发展,有时我们缺乏对原有概念进行整体系统梳理,概念分类停留在过去的时代。出现概念聚变的根源,一是因为概念分类呈现模糊趋势,二是因为概念分类出现过度扩张。由于数的扩张没有终结,所以笔者说“出现数学危机是人类学说的必然”。从数学历史看,数学危机的出现,一定伴随数的新生。而数的新生,以往数学都是在重新简单归纳数的概念中去完成。因为,数的概念拓展与人的观念更新常常不是同步,简单归纳数的概念,不仅给数学发展留下了隐患,也将影响到其他学科的深入。在既定数学思维的影响下,一些新概念的创建往往也突破了老概念体系,而且有的新概念命名远不如前人细致周到,新概念界定也没有周全考虑已有认知体系。急功近利在贪婪吞食人的理智,理性开始离我们的学说渐行渐远。比如宇宙这个概念,宇宙是万物的总称,那“平行宇宙”是什么?难道“平行宇宙”是万物以外的魔界?再比如物质这个概念,物质为构成宇宙间一切物体的实物和场,那“反物质”是什么?难道“反物质”不是实物是虚幻?当然,现代物理学对场尚未透彻了解还在深入。近百年以来,知识爆发,新概念也在爆发。概念的增长超过了知识体系变更和完善程度,所以笔者早些年写拙文《人类开始走入温故知新的时期》。当下,一些荒诞的新概念在世界的学说中层出不穷,无论这些新概念披着何等富丽堂皇的外衣,也掩盖不了其支离破碎的躯体。可惜,科学发达了,概念模糊了;人类进步了,人却糊涂了。难得如此,难得糊涂。当今概念世界混乱不堪,不可理喻而且荒诞,也难怪有哲人先言:人一思考,上帝就笑。新概念不适从原有的认知体系,或突破了基本概念构建的整体系统,无异随心所欲的天方夜谭。“概念聚变”的新概念,越来越频繁撞击原本的概念体系,不久必将引发第四次数学危机。
数学存在明显唯心的因素,那是数学的必然。但数学并非完全空想,它参照借助宇宙自然而形成,因唯物而发展壮大。莱布尼兹悟出的二进制无疑是纯思维的产物,百年沉睡以后,二进制在计算技术中被广泛采用,推动了人类技术革命,二进制也趋于成熟完善。数学揭示数的数理,数理构建事物模型或印证事物发展,数呈现虚拟事物或模拟现实事物。长久以来,数学精心编织唯心与唯物联系的纽带,辛勤耕耘唯物与唯心共同的土壤。回忆人类数学历史,微积分的近似计算着实令人陶醉,也让人类止步于曲线几何研究,或者说放慢了研究曲线几何的步伐、改变了研究曲线几何的方法。笔者幼稚笨拙从事椭圆研究,那是一种不知终点在何时、结果在哪里的行为,与时下功利世界格格不入。在经年累月画圆与椭圆的单调中,笔者找到一丝寂静,收获一点宁静,也送走一段光阴。心静之后,沉思数学和数学将要来临的危机,隐约感到许多矛盾的根源,指向了数的拓展和数的分类。笔者首先这样去想,人生本就纯真简单安详,数一定不需要那么世故繁琐游离;宇宙秩序井然,自然界再多的鱼儿一起畅游、再多的鸟儿一道飞翔,何曾发生彼此相撞,数哪会那般错综复杂模棱两可。其实,人生尘世,直至今天,简明扼要、博大精微的古老学说莫过易经阴阳。易经阴阳与数学二进制内涵一致、异曲同工,也殊途同归、异地共鸣,仅仅名不同而已。不论您承认与否,“阴阳二进制”还将会给未来人类,带来更多您意想不到的活力。一个能在人类社会长久留存、持续传播的学说,本身就是活力体现,也胜过千言万语。历史、现在、未来总会出人意外,因为宇宙并非人类主宰。
2500年前,毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”,2的算术平方根颠覆了这一信条。此后,数学家一方面批判“万物皆数”的信条,一方面也继承“万物皆数”的信条,从而使得数的分类走上了“万物皆数”之途。其实,数的发展走的是一条“先否定,再肯定”的怪圈之旅。曾经,2的算术平方根不是有理数是无理数,于是我们拓展了数的概念;负1的平方根不是实数是虚数,于是我们又拓展了数的概念。这即是前文所谓“简单归纳数的概念”表现。数学正是通过“先否定,再肯定”的简单归纳,把毕达哥拉斯“万物皆数”的信条发挥到了极致,然而,数却从此在人心里模糊不堪。表面看今人比古人懂数,其实古人比今人知数。您虽然懂得根号2的由来,您却永远看不清根号2的面目。思维在根号2面前,看似得心应手,实在无能为力。回顾数的历程,人类无论哪个地区,数的概念最初都是从自然数1、2……开始,后来才有0。从自然数到整数,数开始了纷繁复杂的分类历程。“数是古人创建的规律符号总称。数的延展没有尽头终点,只有可知却模糊不清的未来,就好像一个无理数没有尾数光怪陆离。数的成长表明数的范围一直在慢慢扩展,也越来越远离数的过去。自从我们发觉无理数,数从正整数、自然数、整数、实数到复数,再到向量、张量、矩阵、群、环、域,不断在扩充壮大。数不能预示把握自己的命运,却一心想抓住掌握事物的命运,这就是‘数的美丽悖论’”(摘自《词玉十雕》节选:易经)。冷静审视数的分类,您会看到数的种种莫可言状,数的拓展早已超出了数分类的范畴。数的分类将数与数运算结果模糊,铁矿石冶炼成铁,世人不会将铁矿石和铁归为同类;数的分类将数与数记数系统模糊,火能够发出光,发出光的不一定都是火;数的分类将数与数表现形式模糊,百川归海,归的只是水,江河还是江河,海洋总归海洋。数的家族一步一步走向了庞大,原本清晰简单的数一代一代更加迷茫。数还将无限扩张,也还会更加混沌。分类造成数的模糊,违反了人类思维一般分类的原则和初衷。万物因分类会越来越清晰,唯独数因分类却越来越模糊。数的概念曾经从朦胧走向清晰,为何要反其道而行之,又从清晰走向模糊?数的发展,令人不解;数的未来,令人困惑。数的扩张,值得警惕;数的分类,值得沉思。当然,文中所谓“数的美丽悖论”也好,所谓“概念聚变”也罢,数终将还是会继续发展下去,但愿数的未来简约清晰明了。留一首《数儿歌》:数归数,数含理,数理不坐同类椅;数是数,数有形,数形不着同样衣。总之,数是概念,法则是秩序,周而复始,亘古不变;数理是逻辑,法则是因果,物极必反,奇幻无穷。周而复始和物极必反都是东方古人的哲学理念,所谓1是0的后续,2是1的后续,本质不过是周而复始,不需要那么曲里拐弯,故弄玄虚;罗素悖论也不过是物极必反的写照,不存在什么奇妙噱头,哗众取宠。我们老祖宗的理论细致精微,看您怎样去领悟,实在是可以受益无穷。其实,易学本身是哲学与数学的统一。中文字字珠玑,内涵丰满,意味深长。
数后天而成,人类在不同时代思维的遗产。睿智的前人前赴后继创造出1、2、3、4、5、6、7、8、9和0十个符号,又发明小数点这个符号,从此数学有了播种的种子。数的十一颗种子,深深埋入思维之壤,唯物的沃土施养,唯心的清水浇灌,数千年的呵护,数的种子艰难成长,也开出了数学之花,结成了理性之果。数学围绕这十一个符号演化,离开这十一个基本符号,数学注定将成为虚无飘渺。那么,仅用这十一个符号构成的数,或可将所谓狭义数分为两大类:静数和动数。能够用十一个符号写出来的数都是静数;反之,写不出来的数皆是动数。写不出来的数肯定不是数字,也许只是数理而已。笔者将数分为静数和动数,并非想去重新分类数,只是想说出前一句话而已。以往数的分类在方法上,存在明显简单归纳的缺憾痕迹,虽然做了狭义数和广义数的界别补救,但数的分类还是有笼而统之的无奈,特别是数的分类让数在人的心里更加趋于模糊,这肯定不是一种理想分类。也许数的分类需要梳理,让数的概念与数的逻辑分离,让数的概念与数的形式区别。清晰我们曾经清晰的数,清晰数也是清晰自己、清晰未来。
数,心灵结晶;数学,心静去悟。
(二〇一四年九月五日星期五日记)
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