从数的分类看数学未来

    易亚苏

    数是抽象概念，通常用一系列符号代表。数，心灵之音，思维之花。主流思维将数分为了狭义数和广义数。代表狭义数的符号可分三类，一类是单纯数字，如自然数1、7等；一类是数字与运算符号组合，如-4/5、3+2i等；一类是特定符号，如自然对数的底数e、圆周率π等。

    数的诞生是人类社会的必然。人类文明初期，数数让人建立起有和无的概念，有和无概念的区别，使数的概念在人脑海逐渐从朦胧走向清晰。人创造了数，认识了数，却并不能完全把握数。数自诞生其定义就一直在不断延伸，数的家族已经十分庞大，但数依然未给人类展示全貌，数的魅力和奥秘或在于此。从结绳记事或刻划痕迹到不同符号，再到系列数字，数走过从生活记录到数字初创的漫长之途；从单一数字到诸多符号组合，数走上了从清晰简单到模糊繁杂的奇异之旅。数的旅程如同自然数从0到1，出发之后就没有尽头，谁也看不清、看不到数的终点。也许正是因为如此，才使得数在后期出现不置可否的奇形怪状，有的数可写，有的数不可写；有的数清晰了然，有的数模糊茫然；有的数静默不变，有的数动荡不安。数形同陌路在阑珊处、捉摸不定在回首间，原本简单明了的数，一路演变千百度，分类得众里寻他，颇有一丝莫衷一是和无可奈何。

    数学是人类一门古老的学问，实用性常是后发于人；数学是人类交流统一的系统，一致性总在与日俱增。数是人类感恩自然反馈的回赠，虽然人类有自然数，但自然并没有人类的数。可是，一旦离开数，自然将变得模糊不清。数点亮人心灵，数学统一人意识。数学无论从起源至今还是未来、无论出自地球哪个角落，人们都能够心领神会，融会贯通。数学自然的高度统一体现了理性，也因为高度统一和其在众多学科中的基础地位，数学的理性其他学科无法比拟。理性是一种静默状态，好像宇宙包容寂静祥和。理智、清醒、冷静、客观、细致、周全、透彻、明晰等汇聚一起，描述的也只是理性表象，理性似乎具备先知，这种能力源自数学对人的培养，特别是代数和几何对思维的潜移默化。测量正方形对角线长度，人发现了数的不可通约性，这与习惯观念冲突，从此发明了无理数，也引起了第一次数学危机；计算曲线长度及曲线构成面积，人发明了无穷小量的近似测算方法，进而发明微积分，也带来了第二次数学危机；数学逻辑推理，人发现在一般集合理论的边缘会存有悖论，通俗而言，这样的悖论是无穷大延伸没有了出路，悖论带来了第三次数学危机。理性看待数学危机，您不难发现数学危机都是人为，然而，我们至今不清楚为什么会出现数学危机的原因，只能一次次被动应对。第三次数学危机至今依然没有终结，而且此次危机摇晃着数学大厦，撼动了科学特别是物理学基础。数学是理性的女神，“数学是科学的皇后”，第三次数学危机悬而未决，必然导致科学将出现越来越多的分歧和疑惑，这样的困扰也将让越来越多的人自觉去理性思考过去的认知体系，反省科学主义对自然的扭曲和对人的误导。究竟为何在数学发展的过程中，会接二连三出现危机？发生数学危机是必然吗？笔者认为出现数学危机是人类学说的必然。

    三次数学危机有一个共同特点，都与无穷数有关。第一次数学危机根源在无穷，第二次数学危机根源在无穷小，第三次数学危机根源在无穷大。三次数学危机从侧面反映数学对曲线缺乏透彻的了解和深入的研究。为什么每次数学危机都与数的无穷相关？无穷到底是个什么东西？无穷是集合，带有明显的哲学基因。无穷既有包容含义，也有统一内涵。无穷小代表内不可分，无穷大代表外没有边；内不可分描述的是物质终极状态，外没有边陈述的是宇宙固有形态。这两种态都是人类可望而不可即。可见，数学所揭示的内涵非常广泛深远，它的发展越来越体现数学的价值，也越来越呈现了思维的奇幻。自然大宇宙与思维小宇宙，往往似是而非，却也柳暗花明。本则日记给出一个命题：一个半径无穷大的圆还是曲线吗？圆是平面中到一个定点的距离为定值的所有点集合。所谓定点是圆心，定值距离是半径，圆是闭合的曲线。笔者冥思半径无穷大的圆到底是曲线还是直线？这样的冥思不得不令人想起老子哲言：名可名，非常名。半径无穷大的圆在概念上无疑是曲线，而在形式上似乎是直线。概念不能完全表达内容形式，概念与内容形式出现意外偏差，宇宙和思维原来还存在如此奇妙。当条件发生数的巨变，原来的概念会出现莫可言状的概念聚变。一个半径无穷大的圆还是曲线吗？思维张力膨胀，超出思维概念承受，思维体系受到思维概念挑战。笔者继《什么是东方文明的博大精深？》之后，再次感叹中国古老哲学博大精深。科学的发展在呼唤哲学与数学统一，呼唤东方古老哲学复兴。数的体系左右数学思维，数学思维影响人类认知，或许以上所谓“概念聚变”将成为下一次数学危机。其实，这样数学危机的端倪，早已呈现在所谓“光线弯曲”、所谓“时空弯曲”、所谓“平行宇宙”的深处，皆不过“概念聚变”而已。如果不警惕“概念聚变”，“概念聚变”将蚕食吞噬整个认知体系。人类进步，思维也在发展，有时我们缺乏对原有概念进行整体系统梳理，概念分类停留在过去的时代。出现概念聚变的根源，一是因为概念分类呈现模糊趋势，二是因为概念分类出现过度扩张。由于数的扩张没有终结，所以笔者说“出现数学危机是人类学说的必然”。从数学历史看，数学危机的出现，一定伴随数的新生。而数的新生，以往数学都是在重新简单归纳数的概念中去完成。因为，数的概念拓展与人的观念更新常常不是同步，简单归纳数的概念，不仅给数学发展留下了隐患，也将影响到其他学科的深入。在既定数学思维的影响下，一些新概念的创建往往也突破了老概念体系，而且有的新概念命名远不如前人细致周到，新概念界定也没有周全考虑已有认知体系。急功近利在贪婪吞食人的理智，理性开始离我们的学说渐行渐远。比如宇宙这个概念，宇宙是万物的总称，那“平行宇宙”是什么？难道“平行宇宙”是万物以外的魔界？再比如物质这个概念，物质为构成宇宙间一切物体的实物和场，那“反物质”是什么？难道“反物质”不是实物是虚幻？当然，现代物理学对场尚未透彻了解还在深入。近百年以来，知识爆发，新概念也在爆发。概念的增长超过了知识体系变更和完善程度，所以笔者早些年写拙文《人类开始走入温故知新的时期》。当下，一些荒诞的新概念在世界的学说中层出不穷，无论这些新概念披着何等富丽堂皇的外衣，也掩盖不了其支离破碎的躯体。可惜，科学发达了，概念模糊了；人类进步了，人却糊涂了。难得如此，难得糊涂。当今概念世界混乱不堪，不可理喻而且荒诞，也难怪有哲人先言：人一思考，上帝就笑。新概念不适从原有的认知体系，或突破了基本概念构建的整体系统，无异随心所欲的天方夜谭。“概念聚变”的新概念，越来越频繁撞击原本的概念体系，不久必将引发第四次数学危机。

    数学存在明显唯心的因素，那是数学的必然。但数学并非完全空想，它参照借助宇宙自然而形成，因唯物而发展壮大。莱布尼兹悟出的二进制无疑是纯思维的产物，百年沉睡以后，二进制在计算技术中被广泛采用，推动了人类技术革命，二进制也趋于成熟完善。数学揭示数的数理，数理构建事物模型或印证事物发展，数呈现虚拟事物或模拟现实事物。长久以来，数学精心编织唯心与唯物联系的纽带，辛勤耕耘唯物与唯心共同的土壤。回忆人类数学历史，微积分的近似计算着实令人陶醉，也让人类止步于曲线几何研究，或者说放慢了研究曲线几何的步伐、改变了研究曲线几何的方法。笔者幼稚笨拙从事椭圆研究，那是一种不知终点在何时、结果在哪里的行为，与时下功利世界格格不入。在经年累月画圆与椭圆的单调中，笔者找到一丝寂静，收获一点宁静，也送走一段光阴。心静之后，沉思数学和数学将要来临的危机，隐约感到许多矛盾的根源，指向了数的拓展和数的分类。笔者首先这样去想，人生本就纯真简单安详，数一定不需要那么世故繁琐游离；宇宙秩序井然，自然界再多的鱼儿一起畅游、再多的鸟儿一道飞翔，何曾发生彼此相撞，数哪会那般错综复杂模棱两可。其实，人生尘世，直至今天，简明扼要、博大精微的古老学说莫过易经阴阳。易经阴阳与数学二进制内涵一致、异曲同工，也殊途同归、异地共鸣，仅仅名不同而已。不论您承认与否，“阴阳二进制”还将会给未来人类，带来更多您意想不到的活力。一个能在人类社会长久留存、持续传播的学说，本身就是活力体现，也胜过千言万语。历史、现在、未来总会出人意外，因为宇宙并非人类主宰。

    2500年前，毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，2的算术平方根颠覆了这一信条。此后，数学家一方面批判“万物皆数”的信条，一方面也继承“万物皆数”的信条，从而使得数的分类走上了“万物皆数”之途。其实，数的发展走的是一条“先否定，再肯定”的怪圈之旅。曾经，2的算术平方根不是有理数是无理数，于是我们拓展了数的概念；负1的平方根不是实数是虚数，于是我们又拓展了数的概念。这即是前文所谓“简单归纳数的概念”表现。数学正是通过“先否定，再肯定”的简单归纳，把毕达哥拉斯“万物皆数”的信条发挥到了极致，然而，数却从此在人心里模糊不堪。表面看今人比古人懂数，其实古人比今人知数。您虽然懂得根号2的由来，您却永远看不清根号2的面目。思维在根号2面前，看似得心应手，实在无能为力。回顾数的历程，人类无论哪个地区，数的概念最初都是从自然数1、2……开始，后来才有0。从自然数到整数，数开始了纷繁复杂的分类历程。“数是古人创建的规律符号总称。数的延展没有尽头终点，只有可知却模糊不清的未来，就好像一个无理数没有尾数光怪陆离。数的成长表明数的范围一直在慢慢扩展，也越来越远离数的过去。自从我们发觉无理数，数从正整数、自然数、整数、实数到复数，再到向量、张量、矩阵、群、环、域，不断在扩充壮大。数不能预示把握自己的命运，却一心想抓住掌握事物的命运，这就是‘数的美丽悖论’”（摘自《词玉十雕》节选：易经）。冷静审视数的分类，您会看到数的种种莫可言状，数的拓展早已超出了数分类的范畴。数的分类将数与数运算结果模糊，铁矿石冶炼成铁，世人不会将铁矿石和铁归为同类；数的分类将数与数记数系统模糊，火能够发出光，发出光的不一定都是火；数的分类将数与数表现形式模糊，百川归海，归的只是水，江河还是江河，海洋总归海洋。数的家族一步一步走向了庞大，原本清晰简单的数一代一代更加迷茫。数还将无限扩张，也还会更加混沌。分类造成数的模糊，违反了人类思维一般分类的原则和初衷。万物因分类会越来越清晰，唯独数因分类却越来越模糊。数的概念曾经从朦胧走向清晰，为何要反其道而行之，又从清晰走向模糊？数的发展，令人不解；数的未来，令人困惑。数的扩张，值得警惕；数的分类，值得沉思。当然，文中所谓“数的美丽悖论”也好，所谓“概念聚变”也罢，数终将还是会继续发展下去，但愿数的未来简约清晰明了。留一首《数儿歌》：数归数，数含理，数理不坐同类椅；数是数，数有形，数形不着同样衣。总之，数是概念，法则是秩序，周而复始，亘古不变；数理是逻辑，法则是因果，物极必反，奇幻无穷。周而复始和物极必反都是东方古人的哲学理念，所谓1是0的后续，2是1的后续，本质不过是周而复始，不需要那么曲里拐弯，故弄玄虚；罗素悖论也不过是物极必反的写照，不存在什么奇妙噱头，哗众取宠。我们老祖宗的理论细致精微，看您怎样去领悟，实在是可以受益无穷。其实，易学本身是哲学与数学的统一。中文字字珠玑，内涵丰满，意味深长。

    数后天而成，人类在不同时代思维的遗产。睿智的前人前赴后继创造出1、2、3、4、5、6、7、8、9和0十个符号，又发明小数点这个符号，从此数学有了播种的种子。数的十一颗种子，深深埋入思维之壤，唯物的沃土施养，唯心的清水浇灌，数千年的呵护，数的种子艰难成长，也开出了数学之花，结成了理性之果。数学围绕这十一个符号演化，离开这十一个基本符号，数学注定将成为虚无飘渺。那么，仅用这十一个符号构成的数，或可将所谓狭义数分为两大类：静数和动数。能够用十一个符号写出来的数都是静数；反之，写不出来的数皆是动数。写不出来的数肯定不是数字，也许只是数理而已。笔者将数分为静数和动数，并非想去重新分类数，只是想说出前一句话而已。以往数的分类在方法上，存在明显简单归纳的缺憾痕迹，虽然做了狭义数和广义数的界别补救，但数的分类还是有笼而统之的无奈，特别是数的分类让数在人的心里更加趋于模糊，这肯定不是一种理想分类。也许数的分类需要梳理，让数的概念与数的逻辑分离，让数的概念与数的形式区别。清晰我们曾经清晰的数，清晰数也是清晰自己、清晰未来。

    数，心灵结晶；数学，心静去悟。

    （二〇一四年九月五日星期五日记）