初中数学 | 平面几何的模型与方法系列分享（五） “两形”之等边三角形4

师训君评

在前面几篇文章中，作者研究了一个点在等边三角形的边上、内部以及外部的不同模型和结论（《等边1》）。然后又针对一个点在等边三角形外部进行了大量的拓展，主要涉及一个点等边三角形外部不同位置构成的不同特殊角度而形成的各种模型和结论（《等边2》）。

在上一篇文章中（《等边3》），讲解了当外部一点D连接等边三角形的两个顶点B、C后构成不同的角度时，求一条线段的最值问题。这个最值问题，其实演变成了“一个等边三角形的两个顶点在两条直线上运动的问题”。

本章，作者将使用“一条直线和一个等边三角形来构图”，研究可能形成的“特殊位置的特殊结论和运动不变性”。

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《初中数学|平面几何的模型与方法系列分享（一）总纲》

《初中数学|平面几何的模型与方法系列分享（二）“两形”之等边三角形》

《初中数学|平面几何的模型与方法系列分享（三）“两形”之等边三角形2》

《初中数学|平面几何的模型与方法系列分享（四）“两形”之等边三角形3》

一个等边三角形和一条直线，可以如何命题呢？本着从特殊到一般的思想，我们首先从特殊位置关系入手吧。

如下图：一条直线l经过等边三角形的顶点C，和AB平行。

当直线l//AB时，我们看到图中的锐角都是60°，这时候最常见的命题方式就在图中增加一个60°的，然后考察全等或相似的构造。

比如下图：

可以如此命题：

直线l平行于等边三角形的一边AB,已∠ADE=60°

求证：AD=DE。

以下介绍三种证明方法：

证法1：如下图。

过点D做DF//AC

证明△ADF和△DEC全等。

证法2：如下图。

在AC上截取CF=CD；

证明△ADF和△EDC全等。

证法3：（较复杂，供了解）如下图。

连接AE，利用“蝴蝶相似模型”，先证明 △AOD和△EOC相似；

进而在证明△AOE和△DOE相似；

从而证明∠3=∠2。

然后，再倒角，证明∠2=∠1;

从而∠1=∠3,∠DAE=∠BAC=60°, △ADE等边

所以能够得到AD=DE。当然，也可以证明图中的△ABD和△ACE是全等的。

另外一种命题：已知AD=DE，求证：∠ADE=60° 。

其实这是把已知和结论反过来,难度就大些了。

如上图。

作点A关于BC的对称点F，则AD=FD，从而FD=ED。

所以，∠DFE=∠DEF，∠DEF=∠DAC;

最后，利用蝴蝶模型倒角;

证明：∠ADE=∠ACE=60°。

现在，我们继续拓展，将点D移到BC边的延长线上，看看会有怎样的结论？

拓展1：如下图。

直线l平行于等边三角形的一边AB，点D在BC的延长线上，∠ADE=60°，求证：AD=DE。

拓展2：如下图。

直线l平行于等边三角形的一边AB，点D在CB的延长线上，∠ADE=60°，求证：AD=DE。

请各位读者自己思考以上两种拓展情况应该如何证明？

变式：

如果先给AD=DE，要证∠ADE=60°，又该如何证明呢？

如果同时给已知AD=DE，∠ADE=60°，如何证明直线l//AB呢？

这一部分的最后，我要提醒一下：其实以上每一种情况，都又包含了我们之前讲过的“等边三角形+120°”的模型。

比如：

在拓展1中，可以证明CE=AC+CD；

在拓展2中，可以证明CD=AC+CE；

好了，关于一条直线和等边三角形的一边平行的情况，我们就先讨论到这里。

接下来，我们研究一下一条直线和等边三角形的一边垂直的情况。

如下图：

这样可以如何出题呢？

类似于直线l平行一边的思路，我们再构造一个等边三角形。

来看看不同的构图情况：

命题描述：在直线l上选一个动点D，以BD为边构造一个等边三角形BDE，连接EA并延长交直线l于点F。

则以下三个结论具有“不变性”：

1) EA⊥BA；

2) 直线AE与直线l的夹角等于60°；

3) △ACF是30°、30°、120°的等腰三角形；

另外，如果我们过点E做EH垂直于直线l，和直线AC交于点Q。

则：△AEQ也是30°、30°、120°的”不变三角形”。

最后，我们再来看一下直线l过等边三角形的一个顶点，和一边的夹角任意。

这样可以如何命题呢？

此时通常的命题思路是结合“对称思想”。比如下例：作点B关于直线l的对称点D，连接BD和AD。

再连接CD交AE于F，请证明： AF= CF-DF。

如何证明呢？请看以下解析。

因为AD=AB=AC，以A为圆心，AB为半径，构造辅助圆。

则，∠CDB=30°，连接BF，则BF=DF。

这里，三角形DFB又是一个“不变三角形”，始终是30°、30°、120°等腰。

剩下的事情就简单了，找到这个模型：

等边+120°。

总结

好了，我们最后来总结一下本章的内容。

一条直线和一个等边三角形的构图，大致可以分为三种：

1. 直线和等边三角形的一边平行；

2. 直线和等边三角形的一边垂直；

3. 直线和等边三角形的一边构成任意夹角；

每一种情况，我们都可以总结出一些固定的模型和结论，特别是某些“不变性质”，比如说不变的全等，不变的等线段，不变的等角度，不变的等腰……

并且，有些图形我们若加上线段的长度，就可以变成计算题。每一种情况其实都还可以进行变形和拓展延伸。

请各位读者注意，我在模型研究过程中，其实用到了“分类讨论的思想”、“从分拆到组合的思想”、“从特殊到一般的思想”等。希望大家不光是能记住我给出的模型和结论，还能够记住我研究模型的方法。

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更多几何模型和方法，我们下期再见啦。

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初中数学|平面几何的模型与方法系列分享（六）“两形”之等边三角形5

关于作者

樊浪，新东方教育科技集团中级教学培训师，新东方优能中学推广管理中心高级产品架构师，新东方二十周年功勋教师。