说不完的勾股，道不尽的弦图（2）

——妙用勾股定理第5讲（构造内弦图）

老王说了：勾股定理是初中数学最重要的定理，不是之一，而是第一！

因为老王又说了：初中数学半几何；初中几何半勾股！

有人说了，不就个勾股定理吗，有那么夸张吗？不信你随便挑任何一个省份的中考试卷看看，哪个省份的中考试卷中不考察勾股定理？甚至一张试卷中，会有几道题都考察勾股定理。为什么会有这种现象呢？其实，道理也很简单。因为勾股定理反映的是直角三角形三条边之间的数量关系，其实，只要有垂直，有直角，就有勾股定理的身影。且不说那些题目中给出的那些直角、任意直角三角形、特殊的直角三角形，线段的中垂线、等腰三角形的三线合一、角平分线上的点到角两边的距离、矩形与正方形的内角、菱形的两条对角线、锐角三角函数这些直线型的图形中直角与垂直无处不在，就连初中唯一的曲线——圆中，垂径定理、直径所对的圆周角、切线的性质与判定都有垂直的身影。几何上还有个大名鼎鼎的面积法——积不离高，要作垂线，构造直角三角形；而代数上，平面直角坐标系的自带垂直、一次函数直线的垂直相交、遇到点的坐标的铅垂法，都是勾股定理的载体。更不用说那些直角三角形的存在性的题目......

然而，究竟怎样灵活运用勾股定理？勾股定理有多少种用法？至今也没有一个最权威的说法。本人人微言轻，仅把自己在教学中的一些点滴感悟分享于后。

首先，勾股定理反映的是直角三角形三条边之间的数量关系，根据勾股定理即可建立三条边之间的等式，据此，对于直角三角形的三条边中，已知任意两条边即可求出第三条边的长度。或者知道其中一条边，及另外两条边之间的关系，即可求出第三条边。即根据勾股定理构造方程来解决数学问题；

其次，根据勾股定理的逆定理，从边的角度，可以判定一个三角形是不是直角三角形；

第三，根据勾股定理进行几何作图，能够揭示出非负数的算术平方根的几何意义；

第四，运用勾股定理进行几何证明，解决线段平方和差的关系；

第五，运用勾股定理解决实际应用题，解决立体图形的最短路径问题；

第六，运用勾股定理的几何意义，解决一些面积问题；

第七，运用勾股定理构造弦图，进行证明或计算......

  当然，我们可以根据不同的分类标准，进而总结出勾股定理更加精彩的作用。

  勾股定理的内容如此多，我们该怎样讲呢？考试中又该怎样用呢？

老王总结出“妙用勾股定理”四招，自认为还有点用处。分类如下：

妙用勾股定理第1招：妙用勾股定理构造方程

妙用勾股定理第2招：妙用勾股定理解决线段平方和差关系

妙用勾股定理第3招：妙用勾股定理解决立体图形的最短路径问题

妙用勾股定理第4招：妙用勾股定理构造弦图解决问题

而第4招，又分为：

（1）构造外弦图解题；（2）构造内弦图解题；（3）内弦图和外弦图的关系；

（4）运用勾股定理的几何意义解题；（5）构造“类弦图”解决问题

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