黄老师聊数学（337）椭圆反射定理解决椭圆内一个角平分线问题

朋友问我，要不要帮别人解一道难题，50元报酬，今天之内解出，题目如下，即椭圆焦点与两切线交点的连线平分焦点对两切点的张角。

我说行啊，不在乎钱多少，这种题目我也喜欢解。圆锥曲线问题，不就是计算嘛。于是从中午开始，我就算啊算的。

思路很简单，就是利用解析几何的方法证明，一开始要证明C点到AF1和到AF2距离相等，太麻烦了换成利用倒角公式，结合直线AF1，BF1，CF1的斜率证明角度相等；一开始是设A(x1,y1),B(x2,y2)已知，后面是设C点已知，写出AB切点弦方程与椭圆联立...计算了好多纸均以计算太复杂而告终。不禁感叹：人力有时而穷。

接着冷静下来思考，埋头苦干虽好，但是巧算更胜一筹。既然涉及到角平分线，联想到椭圆中的反射定理：如图，从椭圆一个焦点射出的光线，在切点出反射后必然经过另一个焦点。在切点处满足入射角等于反射角。图中BV即切线方向，BH即为法线。入射角和反射角均是alpha。

于是添加如下辅助线：

将F2沿切线AC反射，对称点M恰好落在F1A的延长线上；同样，令N为F2关于切线BC的对称点，则N、B、F1三点共线。又由椭圆的定义，F1A+F2A=F1B+F2B。于是：

F1M=F1A+AM=F1A+F2A=F1B+F2B=F1B+BN=F1N

所以△F1MN是等腰三角形。为了证明F1C为角平分线，只需证明点C也在MN的垂直平分线上即可。

因为两条切线是对称轴，所以切线交点C是F2N和F2M的垂直平分线的交点，即C是△F1MN的外心，它当然也应该在MN的垂直平分线上。命题得证。同理，F2C也是角平分线。

这是一个非常巧妙的方法！