高中数学《直线与方程》知识梳理与拓展应用

一、知识框架

二、知识梳理与拓展应用

（一）直线的倾斜角、别率

1.直线的倾斜角
    当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角。
    当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，倾斜角的范围是[0，π)。

关键提醒

    处理斜率与倾斜角问題时要注意:设直线方程为斜截式或点斜式时，要讨论此直线是否存在斜率。例1下列说法中，正确的是(   )

Α.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
B.直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜角为θ
C.若直线的倾斜角为α，则sinα>0
D.任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率解析 对于选项Α，当α＝90°时，直线的斜率不存在，所以选项Α错；对于选项B，虽然直线的斜率为tanθ，但只有当θ∈[0°，180°)时， θ才是此直线的倾斜角，所以选项B错；对于选项C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin0°＝0，所以选项C错；所以选项D正确答案 D
（二）直线方程的几种形式
    直线方程的几种形式见表1。

表1

关键提醒
(1)在使用直线方程时，要注意方程表示直线的局限性，例如用斜截式方程y＝kx＋b时，斜率k必须存在
(2)截距和距离的区别:截距可为一切实数，距离是一个非负数.
例2过点(－2，3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为(     )

（三）两直线的位置关系两条直线的位置关系见表2

表2

关键提醒

(1)也可以用两直线组成的方程组的解的情况判断两直线的位置关系。

例3已知直线l₁:x＋(a－2)y－2＝0，l₂:( a－2)x＋ ay－1＝0，则“a＝－1”是“l₁⊥l₂”的(  )
A.充分不必要条件             B.必要不充分条件
C.充要条件                   D.既不充分也不必要条件解析 一方面，若a ＝－1，则l₁:x－3y－2＝0，l₂:－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；另一方面，若l₁⊥l₂，则(a－2)＋ a (a －2)＝0，所以a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l₁⊥l₂”的充分不必要条件，故选Α.
答案Α

（四）直线的交点坐而与距离公式

1.两条直线的交点坐标

知识拓展   

常用的几种直线系方程
(1)平行直线系方程:与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋n(n为参数，且n≠b)；与直线Αx＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C， λ为参数).
(2)垂直直线系方程:与直线Αx＋By＋C＝0(Α≠0，B≠0)垂直的直线系方程为Bx－Αy＋λ＝0.
(3)共点直线系方程:经过两条直线l₁:Α₁x＋B₁y＋C₁＝0，1₂:Α₂x＋B₂y＋C₂＝0的交点的直线系方程为Α₁x＋B₁y＋C₁＋λ(Α₂x＋B₂y＋C₂)＝0(λ是参数)
3.对称问题
(1)点关于点的对称问题.设P(x₀，y₀)关于点Α(a，b)的对称点为P'，则点P的坐标为(2a－x₀，2b－y₀).
(2)点关于直线的对称问题.设点P(x₀，y)关于直线y＝kx＋b的对称点为P' (x'，y')，则有：

可求出x'，y'。
    特殊地，点P(x₀，y₀)关于直线x＝a的对称点为P(2a－x₀，y₀)，点P(x₀，y₀)关于直线y＝b的对称点为P'(x，2b－y₀).