由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带.而这些特征正是解析几何的实质,所以考试经常在向量与解析几何知识的交汇处设计试题.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题.
一、运用向量共线的充要条件
例1 已知椭圆的中心为坐标原点
(1)求椭圆的离心率;
(2)设
(1)解:设椭圆方程为
则直线
化简,得
令
由
又
∴
∴
故离心率
(2)证明:由(1)知
设
∴
∵
∴
由(1),知
又
故
二、运用向量的数量积
例2 已知中心在原点的双曲线
(1)求双曲线
(2)若直线
解:(1)设双曲线方程为
由已知,得
故双曲线
(2)将
由直线
即
设
由
而
于是
由①、②,得
故
从上述两例可以看出,只要对于解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认真分析,充分挖掘问题的本质,灵活运用平面向量综合知识,就完全有可能使问题得到解决!
▍ 来源:综合网络
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