学过高等数学,就一定知道有两个著名的极限:
第二个极限就是著名常数e,之前我讲过很多次。与e齐名甚至更著名并且极为古老的常数当然是π。现在人们经常讨论自己更喜欢哪一个常数,e还是π,我则两者都喜欢。有人说π更加属于初等数学,因为它易于理解,而e则属于高等数学,人们不太容易抓住它的本质。那么对这两个数喜爱的偏向,是否可以反映出一个人的数学天赋的高低?我不这么认为。所以关于两者的文章我都写过不少。π看似浅显,实则很深奥,也更加有趣;e看似很高深,但我的文章也可以把它写得深入浅出。
两个著名且重要极限中,一个明显与e相关,那么我要说另一个极限则与π相关,虽然不很明显。我认为两个重要极限分别联系着两个重要常数,这真的很有趣。经过深入挖掘,今天就来讲一讲这第(1)个极限是怎样与π联系上的。
我们从二倍角公式出发。
我们把上式中用括号括起来的那n个余弦的连乘积单独写出来:
取上式在n→∞时的极限,得
注意,上式中长等号上面就是第一个重要极限:
把上式写成连乘积的形式,就是
这个公式非常有趣,它的左端是无限形式,而右端却是非常简单的有限形式。(1)式这个重要极限在其中起到了非常重要的作用。让α取具体的值(一定要取弧度制,含π的,比如π/4,π/3,π/2),则左端的连乘积中每个因子我们都可以计算出来,而右端是一个实数除以π。于是就可以得到π的无限表达式。我们取α=π/2,计算比较简单,且很有趣。把α=π/2代入上式,便得到
即
即
我们之前讲过上式右端可以写成根式的形式,所以便得到
上式是发现韦达定理的法国数学家韦达(也译作维叶特)的另一成就。
上面的推导过程中,关键的一步就是用到第一个重要极限
我们与之前那期讲π的文章中推导上面2/π公式时用的方法进行比较,发现,有了这个重要极限,推导过程变得简单了,不像上次那样要用到纯几何方法——算面积。但其实,我们在证明这个重要极限时,也是用到初等数学中面积之间的关系。极限的思想成为微积分研究的基础,从而把初等数学提升到高等数学。
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