Triborg | 泛函微分推导膜形变方程

作者介绍：

            加州理工学院 · 访问教授

            纽约大学  · 博士后

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正文

日前看到这样一个帖子：

【抄理】01：浅谈生物膜液晶模型：红细胞为什么是双凹碟形 - 超理论坛

引起了我的兴趣。因为我曾经做过、近期也刚好合作了一篇分子破坏细胞膜的研究。于是简单关注了一下有关膜的建模。

以下是我阅读Z. C. Ou-Yang和Helfrich合作的两篇开创性文章做的笔记。细节可以看原文。

有兴趣的是曲面的形状，用两个曲率——平均曲率 

 和Gauss曲率 

 来描述：

其中 

 是曲面上两个互相垂直的方向，也就是：

定理（主曲率）：正则曲面（三阶连续可导）上每一点存在一对特殊的正交平面，它们与曲面切出的两条曲线的法曲率恰好取极值，一个极大一个极小。这两个曲率称为主曲率。用 

 表示。

首先根据基本假设，曲面自由能可表示为：

这里 

 是所谓自发曲率， 

 是弯曲模量， 

 是Gauss曲率，三者为常数。 

 是膜内外渗透压之差， 

 是表面张力，这俩也是常数。个人认为，最后一项可看作是分子模拟中常见的熵的贡献；第一项具有谐振子的形式，可看作是内能的贡献。

对于这样一个自由能泛函，可以用泛函微分求其形状方程。

首先根据Gauss-Bonet公式，对于拓扑结构不变的曲面：

常数变分为零，直接扔掉。

设 

 是任意满足需要性质的函数，则有：

把这些表达式带入

求泛函微分：

后边两项最简单，先算出来：

第一项最为复杂：

代入上边的两个变分等式，有：

最后一项有求导，所以算完了不含常数 

 。化简后得到的最后一项可记为：

注意这里的 

 不是常见的那个 

 ，而是：

最后就得到：

最后，感谢Z. C. Ou-Yang老师：

PRA, 39:5280 (1989) （这里没写的记号都在文章里，文章贼细，没错误。我自己算的时候经常少个2多个2的）

最后的最后，网上还有涂展春老师的讲义参考：

physics.bnu.edu.cn/appl

顺手也做了一个双凹碟解的母线图：

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参考

   

^Li, Y.; Guo, H., Atomistic simulations of an antimicrobial molecule interacting with a model bacterial membrane. Theor Chem Acc 2012, 132, 1-8.

^Liang Wang, Ming Li, Yongle Li, Bin Wu, Hailong Chen, Tao Xu, Huazhang Guo, Weitao Li, Jarin Joyner, Xingcan Shen, Robert Vajtai, Pulickel M Ajayan,* Wei Ren,* and Minghong Wu*, Designing Sustainable Fluorescent Targeting Probe for Supraselective Nucleus Imaging, Nano Letters, Submitted.

^Z. C. Ou-Yang & Helfrich, PRL 59:2486 (1987)