安宇森 | 科普问答

作者介绍：中科院理论物理研究所 博士

---

1

1、怎样理解量子宇宙学里的宇宙波函数？

借此回答来论述（抄书）一下惠勒德维特方程及广义相对论的正则量子化：

时空的3+1分解：

考虑 

 组成一个空间4标架：可以根据此把四维流形分解成三维空间和一维时间方向。诱导度规定义为

 .

考虑超曲面沿着矢量 

 的方向变化，那么它可以做分解为

 . N叫做时移函数， 

 则是位移矢量。可以证明度规分解为

根据度规和诱导度规的关系以及Gauss-Codazzi方程，我们可以把原来的Einstein-Hilbert作用量写为3+1的形式

表示和 

 相关的外曲率。

哈密顿约束方程：

做了这个3+1分解之后，可以读出此时引力的拉氏密度为

因为它不含有 

 , 所以拉氏量对其偏导数为0，引力系统存在初级约束。初级约束在运动过程中不变，因此引力系统还存在次级约束。根据拉格朗日方程

 便可以很自然的得到哈密顿约束和动量约束，其中哈密顿约束为

我们有基本变量 

 ,也可以定义和它相关的正则动量

利用正则动量，哈密顿约束可以写为

引入超度规 

 便可以得到最后的哈密顿约束的表达式了。

哈密顿约束方程和动量约束等价于四维下的爱因斯坦方程组。

正则量子化：

在这个基础上如果把正则变量 

 从经典下提升为量子的算符，引入正则对易关系

就可以将上述方程进行正则量子化，所以哈密顿约束变成了一个算符方程，其中

 。

经典下的哈密顿约束方程，变为量子下的泛函方程

这个方程叫做惠勒德维特方程，也就是题主写的那个方程。

 即波泛函，路径积分下的形式即

表达从初始态到末态之间的概率幅，最简单的如果我们固定末态，并且认为初始态时一个什么都没有的初态，那么概率幅的物理含义就是从无到有生成一个末态时空的概率。

因为惠勒德维特方程是一般情况下的方程，当然也可以应用于宇宙学时空下作为量子宇宙学的基本方程，为了求解这个方程，还需要引入边界条件，例如Hartle-Hawking的“无边界”条件。

因为 

 组成的度规场超空间是一个无限维的空间，宇宙波函数作为超空间上的泛函通常是无法求解的。具体进行计算的时候需要对超空间做一个约化，不过又会带来负概率的问题，负概率导致内积不一定是正定的，所以无法定义希尔伯特空间。这是正则量子化引力存在的基本问题。

参考资料：

刘辽，黄超光：弯曲时空量子场论与量子宇宙学

---

2

2、黑洞作为量子计算机有什么优势？

黑洞作为量子计算机的优势，目前个人能发现三点：

①考虑具有引力作用的物质系统，广义热力学第二定律暗示了物质的熵具有Bekenstein限制。例如考虑一个球形区域，给球形区域不断的注入能量但保持其表面积不变，这个过程是熵增的过程，最多的熵增也就是加入足够多的能量将这个球形区域变成黑洞，因此 

 . 所以由面积决定的贝肯斯坦霍金熵是特定面积下物质场所能存储的最大的熵。因此黑洞可以最大限度的存储信息.

②Lloyd根据能量时间不确定性关系推出了计算速率的上界，这个问题也比较容易理解，量子计算相当于对于量子比特进行操作，比如翻转一个自旋这种，而因为量子力学给出的关系 

 ,这种操作不能是瞬时的。Lloyd据此给出了一个叫做Lloyd bound的公式：

 ,即总能量是这个计算速率的上界，C代表复杂度，即完成一个操作所需要的最小的逻辑操作门的数目。

复杂度这个量可以通过全息来实现，我们发现对于史瓦西黑洞，这个上界恰好是saturate的，因此黑洞作为量子计算机，计算速率是最快的。

③黑洞可以有不同的视角对其进行观察，如果一个视界外面的观者看这个视界的话，这个视界是一张膜，从无穷远观者来看，一个掉入黑洞的粒子会根据引力红移逐渐定格在这个视界上。但是黑洞这张膜却具有很独特的流体力学的性质，一个典型的就是它会最快速的将我们掉入的信息混合到黑洞表面的所有自由度上，所需要的时间叫做Scrambing time。

可以证明黑洞是一个fast scrambler，即黑洞可以最快速的将信息混合到所有的自由度上。如果你要做计算的话，信息的充分混合一定会提高计算的速度。

同样的信息（自由度）的混合也可以通过计算局域算符的对易子得到，此时相当于计算一个OTOC的四点函数，这个四点函数满足指数发散的性质，它的系数表示Lyapunov指数，是表征量子混沌的一个指标。对于黑洞解，这个量子混沌的系数是最大的，即最大混沌 

目前我能想到的有着坚实的证据的就这三点，其他的期待抛砖引玉，有人解答。以上的介绍某种程度上是硬件层面上的事情。算法层面上，例如AdS/CFT具有量子纠错的性质，因此霍金辐射编码的黑洞内部的信息也有这样的冗余性，即如果只考虑一部分霍金辐射，那么也能够探究到黑洞内部的信息，也就是可以忽略一部分辐射。这个性质是否有助于量子计算目前我也想不清楚，不过感觉应该是一个值得探索的问题。

---

3

3、请教一下如何计算克尔黑洞的温度？

在boyer-Lindquist坐标系下写出度规的形式

其中 

 , 

 , 

 , 

 .

它具有两个视界 ，其中外视界是存在热力学的，

对于Kerr黑洞，在视界处的类光矢量是

其中 

表面引力定义为

 .

温度和表面引力有如下的关系 

 .

在Kerr黑洞这个度规下直接计算 

 .求导，因为视界处 

 .

 . 进行一番化简可以求出表面引力的值

 . 也就求出温度了。

关于熵，在爱因斯坦引力下不管是什么解都是和面积成正比的.

截面度规

 . 

也可以利用关系 

 ,都化作质量的表达式，更容易的看出热力学关系。