培根说过：数学让人精细

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您见过这个题目的证明吗？

本期最后会给出证明！

培根说：数学让人精细

是的，本问题是对精细的一次

严峻考验

10月1日推送了《我画圆，却也画出了直线》一文，阅读量还是很不错，虽然是在大家或居家休息或外出旅游或探亲访友的国庆节那天。这篇内容用机械装置生动地展示了数学中反演的概念。这个机械装置在R・柯朗和H・罗宾的名著《什么是数学》（复旦大学出版社出版，2013年7月第3版）及施坦因豪斯的名著《数学万花镜》（上海教育出版社出版，1981年9月第1版）两书中都有所介绍。说到机械装置，我联想起了《数学万花镜》一书开篇内容，它也是讲一个简单的机械装置。大家可能见过，也可能没有见过。我曾在我2015年2月11日的文章《切割正三角形，拼接成正方形》中介绍过这个装置体现的数学原理，您可以轻触蓝色标题链接到那篇文章，然后一定要回来看本篇内容。没有读那篇文章也不影响阅读本文，因为本篇内容含盖了那篇内容，并且进一步阐述了为什么那种切割是正确的，同时给出了两种都曾出现在正式出版物上的错误切割方法。这些谬误，存在于我们的世界当中，存在于人类知识的宝库和进步的阶梯——书籍当中，广为传播，可能会继续给人们传递错误的知识，造成错误的影响。所以，需要指出错在何处。本篇文章有些长，很烧脑，但绝对值得细读，是对谬误的一次纠正。物有所值，需要花费您一点宝贵的时间。本文内容是我本人经过认真思考后构思出来的，其中全部证明，尤其是对正确切割方法的证明，是我本人独立完成的。本篇文章著作权和版权均归作者邵勇（微信公众号“数学教学研究'（sx100sy）的创建者，北京）本人享有，特此声明。当然，本文内容中引用了其他书籍中的图片，也都在文中注明了，在此对引用书籍的内容、作者及出版者表示衷心的感谢！

下面两图是我的微信公众号“数学教学研究'（sx100sy）那篇文章中的插图，左图的正三角形按一定的方法和步骤被切割成红、黄、蓝、绿四块拼板，用它们可以拼出右图所示的正方形。

本文将对这一切割方法的正确性加以证明。但先不急，我还是想简单叙述一下与这个问题有关的有趣之事，还要把曾出现过的错误切割方法介绍给您，从而说明数学真的是很严谨的，容不得一丁点儿的疏忽或者想当然。直观有时会欺骗我们的眼睛，严格、精细的数学思维和推理是必须的。

（一）

施坦因豪斯在《数学万花镜》一书的开篇这样说：

这样的四块小板，可以拼成一个正方形或者一个正三角形，就看我们是向上面转还是向下面转。

下图是《数学万花镜》中与这段文字对应的插图。

为什么是两张图呢？您看出上面左、右两张图有什么不同吗？不仔细看，那四块用实线画的小板在左、右图中没有什么不同。但是，不同确实是存在的，正误就体现在这细微的差别中。您仔细看一下两图中中间最大的那块拼板。右图中的那块是轴对称的，而左图的不是。这两张图中只能有一张是正确的。那么，这两张图是哪儿来的？把它放在这里要干什么用？

这还要从蒋声先生的著作《几何变换》（上海教育出版社出版，1981年9月第1版）说起。蒋声先生在这本书中说：“开明书店旧版（1951年版）的《数学万花镜》开篇的这个图是错误的”。蒋声先生在书中附上了旧版中的错误图形（多亏他给出来，否则我们还真不容易找到他说的那个旧版本，也就不知还有这么个错误的图形存在），他还用严格的证明指出了错在何处。蒋声先生太厉害了，真是火眼金睛。佩服！（我的数学书中还有几本也是蒋声先生所著，都非常棒，读后让我受益匪浅，比如《从单位根谈起》。上世纪80年代到90年代初出版的数学小册子几十种，应该说影响了几代数学爱好者，这些书都是由上海教育出版社出版的，由中国数学界名家撰写，深入浅出。在此对上海教育出版社表示衷心的感谢！）

那么，哪一张是蒋声先生发现的那个错误的旧版图形，哪张是新版的正确图形呢？答案是：左图正确，右图错误。我手头有一本1981年版上海教育出版社出版的中译本《数学万花镜》（原版是1960年出版的英文版），其中的图形是正确的。上面那张正确的图形（左图）是我在这个1981年中文版中拍摄下来的。而右图的错误图形，则是我从蒋声先生著作《几何变换》所引用的那个旧版错图拍摄得来。

蒋声先生在《几何变换》一书中对错误图形错在什么地方给出了详细的说明，他用的方法是纯几何的方法，并且是反证法，引出相互矛盾的结论，从而推出那种切割方法是错误的。我这里就不引述了。我想用另一种方法即解三角形的方法，证明那种切割方法是错误的。那种切割方法如下图所示：

从上图可以看出，BF转到NA，故BF=NA，GC转到AL，故GC=AL，FG转到NL，故FG=NL。而NA AL=NL，所以FG=BF GC，其中FG=a，BF=GC=a∕2。另外，既然拼成的是正方形，就有FE垂直于DG，从而可以推出三角形FGM是等腰直角三角形。于是，在三角形EFC中，∠FEC=75°。根据正弦定理，应该有

EC ∕ sin 45° = FC ∕ sin 75°

但经计算，

EC ∕ sin 45°   不等于     FC ∕ sin 75°

这说明上图是有问题的。实际上，若点F和点G都是BC的四等分点，即BF = GC = FG∕2 = a∕2，那么三角形FGM就不可能是等腰直角三角形，从而最后拼接成的就不是正方形，而是平行四边形。如下图所示：

上图中的数据是比较精确的。已经比较明显看出，四边形MHJK是平行四边形，不是正方形。其实是一个菱形。

注：FG=BF GC是必须要保证的，这样才能使得上图中粉色、蓝色和绿色三块小板转到上面后才能与橙色块一起拼出四边形。

（二）

下面再介绍另一种切割方法，它看上去似乎避免了上面这个切割方法中所得不是正方形而只是一个平行四边形（内角不是直角）的错误，但经计算，却产生了其他的错误，即平行四边形的内角是直角这一点得以保证了，但仍不是正方形，而是矩形，一种长和宽很接近的矩形。

下图所示为我要介绍的第二种切割方法：

上图这种切割方法，也是在某正式出版物中见到的，我当时也没有仔细想过会有错误。因为它的切割的位置与我本文最后要介绍的正确切割位置基本上一样，但有一点不同，也是非常关键的一点，就是点F的确定方式不同。上图中的点F和点G仍然是BC边的四等分点，FE仍然连接上，但为使最终所得平行四边形的内角成为直角，就从AB边中点D向FE引垂线，还从BC边上的点G向FE边引垂线，分别得到点H和点Ｊ。于是，最终得到的四边形的四个角都是直角了。

但这种切割方法错误出在想当然地认为所得四边形的边也相等。那么，我来证明上图中的所谓正方形PHKM并不是真正的正方形。有两种办法，一种是从三角形面积公式和正方形面积公式算出拼接前后的两种图形的面积并不相等。另一种是四边形的两条邻边长度不相等。这里我采用第一种方法，即面积法。

上图与上上图是一样的，又复制到这里是为了我下面的叙述文字与图对应来看，尽量做到文与图显示在手机的同一个页面上。可以看出，DFGE为矩形。FH=JE，而JE=EK，所以，最终的四边形PHKM的一边JK的长度就等于矩形DFGE的对角线FE的长度。我们先来求出FE（其实我们求出FE的平方即可）：

如果最终拼出的四边形是正方形的话，那么上式所得结果就是这个正方形的面积。下面求原来正三角形的面积。

很明显，

所以，证明了上述切割方法是错误的。

说明一下，上面介绍的各种切割方法，都能够保证下面三小块旋转后与大块拼出的图形是四边形，且四边形的面积等于原正三角形的面积，这点是比较容易看出来的，所以这里就不加以证明了。本篇文章要点是要使所得的四边形成为正方形。

（三）

下面我们就来给出正确的切割方法。我是从加德纳的著作当中看到的，但书中并没有给出具体证明这种切割方法正确性的具体文字。

上面两种错误的切割，都默认要对图形进行左右对称的切割。这点是导致错误的关键原因。上面用面积法计算正方形和正三角形面积时，出现一个是有理数，一个是无理数，可能就与此有关，可以以后继续探讨。我以前那篇文章其实给出了切割的方法，这里再次写出来，您不用再转到那篇文章去看。下面也是通过面积法，证明原正三角形的面积与切割后拼成的正方形面积相等。

切割方法如下：如下图所示，J为AB中点，D为AC中点，DE位于BD的延长线上，DE=AD，F为BE的中点，蓝色圆弧为以BE为直径的半圆，G为DA延长线与半圆BGE的交点，以D为圆心，以DG为半径画圆弧（粉红色），H为粉红色圆弧与BC边的交点（与前面错误方法中点Ｈ的获得是不同的），取HI=AD。过点J作HD的垂线JK，K为垂足，过点I作HD的垂线IL，L为垂足。

然后，把蓝、黄、绿三块小板转到上面，拼成一个矩形（这点是没有问题的），我们下面只需证明矩形的一边长度的平方等于原正三角形的面积即可。

上面作图过程中，从开始到确定出点H的位置，步骤是明确的，所以，点H是唯一确定的，从而线段HD的长度也是确定的。我们先来求HD的长度（求出HD的平方即可）。设正三角形ABC的边长为2a。先求GF。

再求FD：

在直角三角形GFD中（上图中没有画出，但可以想像得出），

HD确定下来后，又因为DC长度为a也是确定的，∠C=60°也是确定，所以，在三角形DHC中，由正弦定理，可以求出∠DHC的正弦：

在直角三角形HLI中，

IL的两倍就是拼成的矩形一条边的长度。我们求这条边的长度的平方。

而原正三角形的面积为：

所以，拼成的矩形的一条边的平方等于原三角形的面积。而由四块小板拼成的矩形，中间没有留空隙，也没有互相重叠，所以，可以说，拼出的矩形就是正方形。

所以，这种切割方法是正确的。证毕。