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向你介绍我是谁
杭州市余杭区塘栖镇第二小学 蒋燕芬
大家好！我是朱乐平名师工作站第七小组成员。很高兴与您在“一课研究”的微信中相遇！
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本期内容有哪些
听一听：不用单位“1”如何解分数应用题
读一读：重组教材 拓展思维——“多边形内角和”的思考与实践
想一想：马云的面试题
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不用单位“1”如何解分数应用 来自一课研究 00:00 09:45
——选自小学教学（数学版）2018年第4期罗永军老师的《不用单位“1”如何解分数应用题——新加坡教材中分数应用题的解决》
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一、缘起：不同年级同一道题的思考
人教版教材四年级下册“三角形”单元的一道习题（图1）和六年级下册“整理与复习”单元的数学思考中的一道习题（图2）引起了笔者的思考。
1. 同一道题在教材上出现两次，何解？
知识点相同：这两道习题虽然出现在不同年级的教材上，但是涉及的知识点是同一个，就是求多边形的内角和，用公式计算：多边形内角和=180°×（边数-2）。两道习题都是借助统计表的形式，将图形、边数、内角和编排在一起，根据多边形与三角形的关系，算出四边形、五边形、六边形的内角和，继而扩展到其他多边形的内角和。
要求有差别：四下的习题要求是“画一画，算一算，你发现了什么？”，六下的第三个问题是“一个n边形的内角和是多少度？”。从中我们可以发现，前者的要求相对低一些，对于大部分学生来说只需要推算出六边形、七边形的内角和，对于思维程度较高的学生，还可以扩展到八边形、九边形……的内角和，最后能够表述出一般规律。而后者需要学生把其中的规律抽象成含有字母的表达式，即：多边形的内角和=180°×（n-2），这个从具体到抽象的程度相对高一些。
从知识层面来说，这道习题虽然在不同的年级，但是需要理解并掌握的知识点是同一个，只是对学生的能力要求稍微有所区别。
2. 整合在同一年级进行教学，可否？
人教版教材是将“探索四边形内角和”与“探索多边形内角和”分开安排，而苏教版教材将“多边形内角和”作为一个独立的、完整的课时来安排，这是一节“探索规律”的拓展课。这节课的知识目标：探索并发现多边形内角和与它的边数之间的关系，并能表示出所发现的规律”，能力目标：积累一些探索和发现数学规律的经验，培养动手操作能力和合情推理能力”。
我们可以看到，教材分四个层次展开教学活动：①提出问题，明确活动的目标。由三角形的内角和是180°，直接提问“四边形、五边形、……的内角和呢”。②明确方法，引导转化的方法。教材以四边形分成两个三角形，将未知转化成了已知，引导学生讨论，把五边形、六边形也分成几个三角形，明确了分割多边形的方法。③观察表格，发现规律。再任意画一些多边形，计算它们的内角和，并列表整理所获得的数据，观察表格，发现计算多边形内角和的基本方法，获得一般性的规律。
二、重组：选择教学内容
（一）基于认知起点，揭示学习内容
认知心理学的代表人物奥苏伯尔曾说过：影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么，教师应根据学生的原有知识进行教学。通过前测，学生基本都已经知道“四边形的内角和是360°”，而且大部分学生能够独立验证。所以，笔者把这节课的内容确定为“研究多边形的内角和”
1. 揭示课题，明确研究方向
师：同学们，今天我们一起来研究“多边形的内角和”。关于多边形，你已经知道了哪些知识？
生：三角形、四边形、五边形、六边形……都是多边形。
生：三角形的内角和是180°。
生：长方形的内角和是360°。
师：对“多边形的内角和”你还有什么问题想问的？
生：五边形的内角和是几度？
生：六边形的内角和是几度？
生：一百边形的内角和是多少度？
师：是呀，要解决这么复杂问题，我们可以从简单的图形开始研究，慢慢找出规律。
2.对比研究，从特殊到一般
师：（出示课件）我们之前做过一个小调查，老师选择了一些同学的研究成
果。他们的研究过程有什么相同之处和不同之处？
生：①和②是长方形和正方形，它们的四个角都是90°。③、④、⑤都是普通的四边形。
师：我们在研究“四边形内角和”时不能只研究长方形、正方形这些特殊的四边形，还要研究其他一般的四边形。
开门见山，揭示本节课学习的内容是“多边形的内角和”，以谈话的方式了解学生对多边形、内角和等知识的认知。同时，让学生明确“要想得到一百边形（复杂）的内角和，要先从简单的图形开始研究，渗透“化繁为简”的思想。然后，利用学生的前测结果，通过对比，让学生明白“不能只研究特殊的四边形，还要研究其他一般的四边形”。这不仅为后面研究“其他多边形的内角和”指明了研究的方法，而且渗透了“从特殊到一般”的思想——也是贯穿整节课的数学思想。
（二）设置认知冲突，明确“转化”策略
学生的数学学习过程是一个认知不断产生、化解和发展的过程。《论语》里“不愤不启，不悱不发”中的“愤”和“悱”就非常精确地刻画了认知冲突产生时学习者的状态。在教学时应利用学生的认知上的冲突，激发学生主动思考和建构，让学生体会到“测量相加”、“剪拼”的方法，可能存在误差，从而聚焦到“分成三角形”的方法，明确“转化”的策略。
1. 利用误差，体会严谨
师：这三位同学得到的“四边形内角和不是360°”，他们的问题可能出在哪？
生：边没有画直。
生：测量时不够准确。
师：也就是说，我们用测量这种方法时，很可能会存在误差，导致我们不能正确得到多边形的内角和。
2.引导“转化”，明确方法
师：观察这四位同学的研究过程，他们有什么相同之处？
生：都是把一个四边形分成了两个三角形，一个三角形的内角和是180°，
两个就是180°×2=360°。
师：虽然这些四边形的形状不同，但都是把“四边形分成了两个三角形”。
师：有一位同学分成了4个三角形，你们觉得可以吗？
生：不可以，分成4个三角形，内角和就变成180°×4=720°了。
生：可以，因为中间4个角不是四边形的内角，所以还要减去一个周角，也就是180°×4-360°=360°。
师：把四边形分成四个三角形时，要注意减去中间的周角。
通过第一个认知冲突——测量结果不相同，使学生体会到测量是有一定局限性的，很难得到准确结果，这显然不是解决问题的主要方法，这时学生自然而然会对既有经验进行整合与重组，从而想到把四边形分成两个三角形的方法。通过第二个认知冲突——把四边形分成两个三角形和四个三角形，让学生感受到将四边形转化成三角形的方法并不是唯一的，还可以分成四个三角形，但是要减去一个周角，为后面探究“五边形、六边形内角和”的活动提供经验与方法的支撑。
（三）捕捉思维动态，经历推导过程
这节课主要引导学生通过观察、操作、归纳、类比等具体的活动，让学生经历由特殊到一般的学习过程，发现多边形的内角和与多边形边数之间的关系，得到一般规律。本节课的探究规律，对四年级的学生而言具有一定的挑战性。首先，这一知识点在目前的初中数学教材还作为例题教学，内容本身具有一定的难度。其次，四年级的学生在发现规律、表达规律的意识和能力上还比较欠缺。所以，笔者在接下去的环节中，设计“合作探索五边形、六边形内角和”、猜测并验证发现的环节，其目的是通过小步前进，搭建促进学生认知发展的“脚手架”，在次过程中，要注意捕捉学生的思维动态，经历推导规律的全过程，体验数学的严谨性和挑战性。
1. 逐步探索，感悟规律
师：我们接着来研究五边形、六边形的内角和。同桌合作，完成实验研究单。
师：先来交流五边形内角和的方法。
生：从一个顶点出发向其他顶点连线，把五边形分成了3个三角形，所以五
边形的内角和是180°×3=540°。
生：还可以在五边形里找一个点，从这个点出发连接每个顶点，将五边形分
成5个三角形，用180°×5，还要减去360°，因为多算了中间哪个周角。
……
师：我们已经研究了四边形、五边形、六边形的内角和问题，比较每次得到的结果，你有什么发现？
生：我发现多边形的边数越多，它的内角和就越大。
生：我们发现多边形的划分出的三角形个数比边数少2。
师：这个规律你怎么观察到的？
生：上下看的，四边形分成了2个三角形，4-2=2；五边形分成了3个三角形，5-2=3；六边形分成了4个三角形，6-2=4，……以此类推，边数-2=三角形的个数。所以多边形的内角和=（边数-2）×180°。
生：我们来观察第二种计算方法，就可以发现多边形的内角和=边数×180°-360°。
2.沟通方法，验证规律
师：这两种方法之间有什么联系吗？
生：这两种方法其实一样的，我们可以用乘法分配律来说明：
（边数-2）×180°=边数×180°-360°
师：这个规律是否适用所有的多边形呢？我们还需要来验证。每位同学举一个例子来说明。
生：七边形的内角和=（7-2）×180°=900°。
生：八边形的内角和=（8-2）×180°=1080°。
……
生：一百边形的内角和=（100-2）×180°=17640°。
本环节通过学生自主探究，将五边形、六边形转化为多个三角形，逐步发现边数与三角形个数之间的关系，积累了丰富的数学获得经验。然后，利用乘法分配律沟通两种分法得到的计算方法，引导学生尽可能多而全面的举例，这样得到的结论可靠性就强一些。同时重视学生用规范的数学语言进行表述，重视板书规范严密的推导过程，有利于学生观察、归纳，让学生理解和明晰计算方法的由来。这样的数学活动过程，不仅能锻炼学生的数学归纳概括能力，同时帮助学生积累了如何研究问题的经验。
（四）引导深度思考，培养推理能力
学生的推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例，能清晰、条理地表达思考过程，做到言之有理、落笔有据。“课标2011版”指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。
1. “发现怎么算”，归纳推理
在探究“五边形、六边形内角和”之后，学生能初步感知多边形内角和的计算方法，通过举例验证得到一般规律，这是一个从特殊到一般的归纳推理过程。推理的过程如上，不再赘述。
2. “知道为什么这么算”，演绎推理一般情况下，归纳推理能够得到一个大家都公认的结论，在我们小学阶段更多的是归纳推理占据主导地位，如小学数学的各种概念、计算法则、公式等，绝大多数都是通过丰富的具体实例，逐步抽象、概括出来的。但是如果能挖掘结果的本质，揭示其内在原因，不仅可以使学生知其然，还能知其所以然。多边形内角和为什么是“（边数-2）×180°”，这的确是一个具有高阶思维含量的问题，教师该如何引导学生进行深度思考呢？
师：为什么划分成的三角形个数比边数少2？
生：当我从A点出发来划分三角形的时候，A点只能和C、D相连，不能和A旁边的B、E两个点相连。所以连线的条数应该是“边数-3”，但是三角形的个数又比分割线多1，比如五边形的分割线是2条，分成了3个三角形。所以三角形的个数应该是“边数-2”。
生：比如五边形分出的三角形,从A点出发，除了A点两侧的两条边组成的三角形是重复的，还剩下3条边，各对应一个三角形，所以能分成（边数-2）个三角形。
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想一想
据说，这是马云在一次面试中出的题目，当时只有一个人答对了。
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：陈喆谊 李璐
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