01
知识回顾
【思考题】
（1）2+9+16+23+30+37+44+51+58
（2）4+7+10+13+ ······ +28+31+34+37
爷爷
孩子们，昨天我们学习了等差数列求和的方法，还记得高斯求和公式是怎样的？以上两道思考题你们算出来了吗？
高斯求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2
第(1)题我算出来了。
2+9+16+23+30+37+44+51+58
=(2+58)×9÷2
=60×9÷2
=30×9
=270
第(2)题4+7+10+13+ ······ +28+31+34+37
=(4+37）×12÷2
=41×12÷2
=41×6
=246
美美
天天
我第(1)题和美美一样，第(2)题，只知道首项和末项，项数有几个还没有数出来。美美你项数是怎么算出来的？
我不是算出来的，我是数出来的，要是有很多项的话，我就数不出来了。爷爷有什么算项数的好办法吗？
美美
爷爷
项数的确是求等差数列和的关键，也是有方法的，今天我们就来学习求等差数列的项数。
02
知识探索
【例题2】 计算
4+7+10+13+ ······ +28+31+34+37
爷爷
我们先来观察这组等差数列有什么规律吧！
每个数依次+3，也就是说公差是3。
美美
难道项数和公差有关吗？
天天
爷爷
我们就来找一找规律，从等差数列形成的过程来看吧！
我和天天进行了列举：
美美
爷爷
你们可真会想办法，那有什么发现吗？间隔数与项数有什么关系？
发现：每项与第一项的间隔数等于每项比第一项多出了几个3
项数=间隔数+1
美美
哦，我明白了！看来每项比第一项多几个公差它们之间就有几个间隔。间隔数知道项数也就知道了。
天天
项数=间隔数+1
项数=（末项－首项）÷公差+1
美美
这道题，知道37是第几项，项数就是几。
所以项数=（37-4）÷3+1=12
4+7+10+13+ ······ +28+31+34+37
=(4+37）×12÷2
=41×12÷2
=41×6
=246
这道题就解答出来了！
天天
爷爷
你们太了不起了！真是善于观察，而且善于寻找各部分之间的联系，这正是我们学好数学的好方法。
学到现在你们能说说，等差数列求和的步骤吗？
我知道，首先要算出项数，再根据求和公式进行计算。
1.项数=（末项-首项）÷公差+1
2.和=（末项+首项）×项数÷2
天天
记住这两个步骤，我们能快速地进行计算啦！
美美
03
知识运用
【练习】你能快速算出得数吗？
（1）10+11+12+13+······+49+50
（2）6+10+14+18+······+94+98
（3）97+92+87+82+······+12
爷爷
这几题你能用刚刚学的知识快速地算一算吗？
第(1)题很简单
10+11+12+13+······+49+50
项数=(50-10)÷1+1=41
和=(10+50)×51÷2
=60×41÷2
=30×41
=1230
天天
第(2)题
6+10+14+18+······+94+98
项数 = (98-6)÷ (10-6)+1=24
和 = (6+98)×24÷2
=104×24÷2
=104×12
=1248
美美
爷爷
孩子们，你们真棒！算得都非常正确！第(3)题的项数该怎么算呢？
依次递减的等差数列，倒过来看12~97有几个数就可以了。
97+92+87+82+······+12
项数=(97-12)÷(97-92)+1
=85÷5+1
=17+1
=18
和=(12+97)×18÷2
=109×18÷2
=109×9
=981
美美
爷爷
完全正确！转化成我们熟悉的知识，问题就能迎刃而解
爷爷我们知道，等差数列的和不仅和项数有关，还与首项和末项有关，当首项或者末项不知道的时候，我们该如何解答呢？
天天
爷爷
你真是善于思考，会发现问题和提出问题！这个问题我们明天继续学习吧！
04
知识拓展
【思考题】
（1）28+25+22+19+······+4+1
（2）在14和30之间插进三个数，使这五个数构成等差数列。这三个数分别是多少？
美妙数学天天见，每天进步多一点。亲爱的同学们，今天的话题我们就讲到这里，咱们明天再见。
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