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本期内容有哪些
1.听一听：利用概念的严谨性培养学生的推理能力
2.读一读：基于SOLO理论的“循环小数”学生概括水平分析 ——以五年级学生概括水平分析为例
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本期内容：利用概念的严谨性培养学生的推理能力——节选自《小学数学概念教学行与思》（林武著）
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基于SOLO理论的“循环小数”
学生概括水平分析
“循环小数”是一个数概念，学生是怎么概括循环小数的？哪个关键要素是学生最难概括的？原因是什么？教学中我们可以怎么做？带着这些问题，笔者进行了《基于SOLO理论的“循环小数”学生概括水平分析》研究。
一、“循环小数”概念的要素分析
1.什么是“循环小数”
人教版教材这样描述：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。像上面的5.333…和7.14545…都是循环小数。
2.“循环小数”的要素分析
循环小数的定义包含三个要素：①从小数部分的某一位起②一个数字或几个数字③依次不断地重复出现。我们可以这样来分析这个概念：①从小数部分的某一位起（这个要素指向“循环小数”数字的位置）；②一个数字或几个数字（这个要素指向“循环小数”循环节的特征）；③依次不断地重复出现（这个要素指向“循环小数”无限循环特征）
二、学生测查情况统计分析
（一）测查目的
测查目的：了解学生对循环小数的知晓程度和对循环小数的概括水平情况。
测查对象：“循环小数”是五年级上册的内容，选取的学生是使用人教版小学数学教材的五年级下册学生，共53人。
测查题目：1.你知道什么是“循环小数”吗？2.你能写出一些循环小数吗？（尽可能把各种不同的循环小数都写出来）
（二）测查结果
1.小学生知道什么是循环小数吗？
测试题第2题就是了解学生认识循环小数的程度，测查数据显示，能够举例说明循环小数的五年级学生占62.3%，说明大多数学生是认识循环小数的，从学生举的例子就可以看出。具体分析学生对循环小数的知晓情况，有以下几类。
在20名错误的学生中，循环点错误的有10人占18.9%；没有写省略号、忽略了无限小数特征的有2人占3.8%；举的例子有些对、有些错的有2人占3.8%；由此可以说明，实际上不认识循环小数的只有6人占11.3%，另外14名学生即使举的例子错误，但是还是对循环小数有一点模糊的认识的。
这类学生中，能举出纯循环小数的例子的16人占30.2%，举出混循环小数的例子1人占1.9%， 说明学生对纯循环小数的印象深刻。
这类学生20人，其中3人循环点错误，1人漏写省略号。实际能正确举出两类例子16人，占30.2%。
2.小学生对循环小数的概括水平如何？
从数据可以看出，约62%的学生至少能正确举出一种循环小数的例子，说明学生是知道什么是循环小数的。那么知道的背后学生概括循环小数的水平怎样呢？我借助SOLO理论对学生概括循环小数的水平进行分析。学生典型作品分类如下：
水平1：前结构
前结构：拒绝，同义反复，转换，跳跃到个别细节。
不能概括出循环小数的定义有12人占22.6%，这些孩子概括不出来的具体情况是什么呢？
从以上分析看出22.6%的学生对于循环小数的特征及其关键要素一个也概括不出来，也就是一点概念也没有，不能概括出循环小数的定义。
水平2：单点结构
单点结构：只能联系单一事件进行“概括”。
能概括其中一个与循环小数有关联的要素的有18人占34%，这些孩子对循环小数会有一点模糊的印象，只能联系循环小数循环节的特征或者无限循环的特征进行概括。比如
34%的学生只能概括其中一个与循环小数相关联的要素，但是对于循环小数的位置却没有学生概括，或者概括不出来。
水平3：多点结构
多点结构：只根据几个有限的、孤立的事件进行“概括”。
能概括两个与循环小数有关联的要素的有14人占26.4%，具体情况如下：
①概括出循环小数的位置与循环的特征两个关联要素，有8人占15.1%。
②概括出循环小数的位置与循环节的特征两个关联要素，有5人占9.4%。
③概括出循环小数的循环节特征与循环特征两个关联要素，1人占1.9%。
26.4%的孩子都提到“不断重复”、“连续出现”、“无限循环”等，说明学生对于循环小数的无限循环特征是很清楚的能表达出来，知道不断的循环或反复；但是如何抓住核心要素进行概括或者根据要素之间的联系进行概括，学生是有困难的。同时“从小数的某一位起” 这个关于循环小数数字的位置的要素，和“一个数字或几个数字”这个与循环节的特征有关的要素，部分学生概括比较困难。
水平4：关联结构
关联结构：能在设定的情景或已经历的经验范围内利用相关知识进行概括。
能概括三个与循环小数有关联的要素，有8人占15.1%。这些孩子能从数字的位置、循环节的特征和无限循环特征三个要素进行概括，基本能概括出循环小数的定义。
这15%的孩子，都概括了三个要素，但是对于①从小数部分的某一位起（这个与“循环小数”数字的位置有关联的要素）学生只概括出“小数部分”或者“小数数位”，没有概括出从哪一位开始。②一个数字或几个数字（这个与循环节特征相关联的要素）学生基本都能关注到“一个或几个数”，但是“数”和“数字”的区别有的孩子没有关注。③无限循环的特征，每个孩子都关注到，但是能用“依次不断的”词语概括定义的学生非常少。
水平5：抽象扩展结构
抽象扩展结构：演绎与归纳；能准确抽象概括循环小数的三个要素。
综合本次测查情况，对应SOLO分类理论关于学生概括循环小数水平层次划分描述如下：
从以上测查可知，学生对于“循环小数”中“无限循环出现”这一现象比较熟悉，但是关于数字的位置特征（小数部分的某一位起）、循环节特征（一个或几个数字）等细节概括不清楚，或者是数学表达问题，也可能是学生对概念的学习理解不够深刻的问题。
3.哪个词是学生概括的高频词？
除不尽、循环、依次不断都是学生在概括循环小数中出现比较多的词，出现的次数有多少呢？统计如下。
学生对于循环的特征还是很熟悉的，但是对于数字的位置特征、循环节的特征等就不是太多学生能概括出来，也可能是记忆问题。后续还可以进行跟踪研究。
三、研究启示与教学建议
根据对学生循环小数概括水平的调研，借助SOLO分类理论进行水平层次划分及分析后，现对“循环小数”的教学提出以下建议。
1.准确把握循环小数的认识的教学
“循环小数”的教学重点在于概括，概括是在不断分析对象共同特征的过程中抽取本质属性，即是在对象的个性和共性中寻找区别与联系，达到对事物本质的认识。
循环小数的概念比较抽象，学生难以理解与记忆，抽象的文字概念在小学阶段可以不必要求学生全部掌握，但是必要的概括表达能力还是要培养的。可以通过“分析特征——沟通联系——抽象概括”的方式加强循环小数的认识。
2.加强对数的特征的分析与概括
从测查中发现，学生即使认识循环小数，但是要概括循环小数的定义仍然是存在困难的。学生对于概念的概括不够严谨，不够全面,有可能因为在教学中对于概念的学习只局限于记忆和应用，缺乏理解的教学。因此建议通过四个步骤提高概括能力。即：
数形结合：用“形”表征数，实现从无形到有形；
操作体验：通过操作获得经验，提升认识；
抽象概括：从具体共同性的事物中揭示其本质意义；
多元表征：用语言、文字、符号、图像、具体物、活动或现实情景等方式，给抽象的符号建立具体模型。
3. 借助SOLO理论进行水平层次划分的意义
借助SOLO分类理论进行学生水平层次划分，不仅在于对学生的学习结果进行分类，关键的是以此深入了解学生的思维水平，较清楚地显示学生对某个具体问题的认知水平和发展趋势。作为教师改变学习评价侧重于学习结果“量”的评价倾向，从关注做对转变为重视思维过程的评价，即学习“质”的评价，善于发现学生客观存在的思维方式和认知水平差异，有助于促进学生转变思维，获得进步，帮助学生提升学习关键能力。
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