最小公倍数

判断质数的方法

1、记忆法：100以内的质数有25个：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43，47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。

2、个位数观察法：10以上的质数，个位上的数字只能是1、3、7、9。

3、平方根法：设这个自然数为n（n＞1）,它不能被2到根号n之前的任意质数整除，那么它就是质数。.（先找一个数m，使m的平方大于n，再用小于等于m的质数去除n，如果都不能整除，则n必然是质数。）

 

【第十四届华杯赛决赛第6题】已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为 ？

【答案】：1626。

 

【第十五届华杯赛决赛第12题】华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112=1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。

【答案】：1163是质数，理由略。

【第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 10分第二大题3】已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。

【答案】：首先注意到，60可以分解为2²x3x5，270可以分解为2²x3³x5，[a,b]=60，我们根据质因子最多相乘法，假设，b不是2²的倍数，那a一定是2²的倍数，那么这样一来[a,c]一定含有2²这个因子，所以出现了矛盾。这样我们得到b是2²的倍数。同理，同学们可以自己分析得到c是3³的倍数。到这儿为止，我们发现[b,c]中一定含有2²x3³´这个因子。若a中不含5这个因子，b,c都含5这个因子，在这种情况下，最小公倍数为2²x3³x5=540；若a中含5这个因子，b,c可以含也可以不含5这个因子，在这种情况下，最小公倍数为2²x3³x5=540或者2²x3³=108。.

 

知道两个自然数的最小公倍数和其中一个数，如何求另一个数。

自然数a、b的最小公倍数记为【a，b】，最大公约数记为（a，b），则

b = （【a，b】/a）x（【a，b】/a，a）是其可能取值之一。

 

知道两个自然数的最大公约数和其中一个数，如何求另一个数。

b=akx（a，b）>0是其可能的取值。

60的质因数包括：2、3、5。则a、b、c的可能取值是：

1、a=2，b=60，c=135，【b，c】=540

2、a=3，b=20，c=270，【b，c】=540

3、a=5，b=12，c=54，【b，c】=108