#如何动手学数学# 策略游戏2
组合饼
一. 游戏规则：
1. 有两个玩家。 玩家A来摆几种颜色的饼。每种颜色为一堆。每堆只能有1，2，或3个饼。
2. 玩家B决定谁来先拿。
3. 两个人轮流拿，每次只能拿一个颜色堆里面的1个，2个或全部的饼。
4. 拿到最后一个饼的玩家赢了。
二. 样例游戏的流程：
下面我们来解释一下一个样例游戏。如图1所示：
玩家A（Zack），把8个饼，分成了三个颜色堆。然后玩家B（Allanna）决定自己先拿，于是拿走了红色的一堆的全部饼。Zack拿了绿色的一个。然后Allanna拿了紫色的一个。Zack又拿了绿色的一个。Allanna拿了剩下的紫色的两个，于是她赢了。
三. 一堆饼游戏的最简单的样例：
下面我们用倒推法，看看这个游戏最简单的方式是怎么玩的。如图2所示
1. 图2左上角第一种情况，如果玩家A摆出两堆，每堆各一个饼。那么玩家B肯定赢了。
因为玩家B可以选择后拿，玩家A必须拿一个，那么玩家B就拿到了最后一个了。
2. 如果是图2的上排中间的情况，玩家A摆出两堆，每堆各两个饼。那么玩家B也肯定赢了。她还是选择让玩家A先拿。
如果玩家A拿了其中一堆的全部（也就是两个饼），玩家B拿另一堆全部，就赢了。
如果玩家A拿了其中一堆的一个（比如红色的一个），那么玩家B拿另一堆的一个（紫色的一个）。那么就划归到了情况1（一堆一个），无论玩家A拿哪个，玩家B都赢了。
3. 如果是图2右上的情况，玩家A摆出两堆，一堆一个饼，另一堆两个。
玩家B只能选择自己先拿，并且拿一堆两个的其中一个，剩下的选择都会输。
4. 如果是图2左下的情况，玩家A摆出两堆，一堆两个饼，一堆三个。
那么玩家B只能选择自己先拿，并且拿多的那堆（紫色）的一个。这样就变成情况2（两堆每堆各两个，且轮到对方拿）
否则玩家B就输了。
5. 如果是图2右下的情况，玩家A摆出两堆，一堆三个饼。
那么玩家B要选择自己后拿，这样怎么都是赢的。
因为如果玩家A拿其中一堆的三个，玩家B就拿另一堆，就赢了。
如果玩家A拿其中一堆的两个，玩家B就拿另一堆的两个，变成了情况1，也赢了。
如果玩家A拿其中一堆的一个，玩家B就拿另一堆的另一个，变成了情况2， 也赢了。
三. 赢的策略
从上面的倒推解法来看，如果有两堆饼，且每堆饼的数量是相等的。那么后拿的那个人，总有办法赢。
从这件事，我们可以发现一个总是赢的策略，那就是如果有偶数堆的饼，其中成对的出现相等堆（比如两堆一个的，两堆两个的，两堆三个的，相等堆是成对出现的），那么后拿的那个人，只要总是模仿前一个人的玩法，就一定能赢。
也就是说，如果先拿的人拿了一堆，那么后拿的人，就去拿其成对的相等堆。
如果先拿的人拿了某3个堆的两个，那么后拿的人就去拿另一个三个堆的两个。
如果先拿的人拿了某堆的一个，那么后拿的人就去拿另一堆的一个。
这种对称的解法，后手来山寨先手，样例如图3所示。
四. 推广策略
当桌子上不是偶数堆的饼，堆与堆之间也不是成对出现的时候呢？ 那么我们就要想办法把桌子上的局面变成偶数堆，堆与堆是成对的。
这就是下期的内容
五. 数学本质
这组策略游戏的数学本质，就是后手要赢，则必须让先手面对偶数对称堆（总堆数是偶数，所有堆都是成对出现），则自己只要模仿对方，根据奇数偶数规律，则自己一定赢
。
你明白了吗？
