在平面几何题中,适当的建立直角坐标系,利用代数的方法解决几何问题,即解析法,有时会显得更简洁高效.现以近年中考压轴题为例,分析说明解析法之妙.
【典型例题】如图1,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连结PQ,M为PQ中点.若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化.当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围.
分析 本题将矩形、三角形、动点、参数相结合,考察学生利用相似解决问题的综合能力,难度较大,区分度高,按照参考答案给出的解题思路,如图2所示,当点M落在矩形ABCD外部时,须满足的条件是“BE>MN”.分别求出BE与MN的表达式,列不等式求解,即可求出a的取值范围.
这种解法不仅要想到添加辅助线,还两次运用了相似比,计算量大,易出错.比较稳妥而简洁的做法是将图形放进直角坐标系中,利用数形结合的方法来解决此类问题.
如何建立合适、恰当的坐标系呢?通常需要考虑以下两点:
第一,让尽可能多的点落在直角坐标系上,这些点的坐标含有数字O,可以起到简化运算的功效;
第二,考虑图形的对称性,同样,也能起到简化运算的作用.
解答如下图所示,建立以B点为原点,BC方向为x轴正半轴,BA方向为y轴正半轴的直角坐标系.
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