1、应用动能定理求解变力做功 例1、如图所示,用同种材料制成的一个轨道,AB段为
分析:物块由A运动到B的过程中共受三个力作用:重力G、支持力N、摩擦力f。由于轨道是弯曲的,故支持力和摩擦力均为变力,但支持力时刻垂直于速度方向,因此支持力不做功,则该过程中只有重力和摩擦力做功。
解答:设物块在B点时速度为
所以
物块由B点运动到C点的过程中,重力和支持力不做功,仅有摩擦力做功,设为
由动能定理得
又
由(1)(2)(3)式可得
物块在AB段克服摩擦力做了功
2、用平均力等效代换变力,化变力为恒力
例2、如图所示,一个劲度系数为200N/m的弹簧,下端连接一质量为2kg的物体,上端连着跨过定滑轮的绳子的一端,在绳子的另一端施一竖直向下的力,自弹簧为原长开始缓慢竖直向下拉20cm的过程中,求拉力做了多少功?(g取10m/s2)。
图2
分析:该题所给情境中,外力F向下拉弹簧的过程为缓慢下拉,所以拉力始终等于弹簧的弹力,而弹力随着弹簧伸长量的改变而变化,故本题仍然属于考查变力做功的问题。
解答:自弹簧为原长开始缓慢竖直向下拉20cm的过程可分为两个阶段。第一阶段是:当物体尚未离开地面时,拉力随着弹簧的伸长而线性地增大(F=kx)。对于这种方向不变、大小均匀变化的变力做功问题,可用平均力(F=
由于弹簧的最大伸长量为
当拉力等于物重后,物体离开地面上升的过程中,拉力恒定不变,所以第二阶段拉力所做的功
故自弹簧为原长开始竖直下拉20cm的过程中拉力所做的功
3、微元求和法
例3、如图所示,某人用力F转动半径为R的转盘,力F的大小不变,但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
分析:在转盘转动一周的过程中,力F的方向时刻变化,但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向(切线方向),即力F在每一瞬时与转盘转过的极小位移
解答:把整个圆周分为n段小弧,每一段都可以看做这段弧的切线,也可以看成是转盘经过这段距离的位移,而每一段小弧均可看做恒力做功,则总功为每一段小弧做功的总和。
4、应用功能关系求解变力做功
例4、如图所示,一质量m=2kg的小球系在轻细橡皮条一端,另一端固定在悬点O处。将橡皮条拉直至水平位置OA处(橡皮条无形变)然后将小球由A处静止释放,小球到达O点正下方h=0.5m处的B点时的速度为v=2m/s。求小球从A点运动到B点的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。(取g=10m/s2。)
分析:将小球、橡皮条和地球组成的系统作为研究对象,在小球从A点运动到B点的过程中,只有系统内的重力和弹力做功,故机械能守恒。
解答:取过B点的水平面为零重力势能参考平面,橡皮条为原长时的弹性势能为零。设在B点时橡皮条的弹性势能为Ep2,由机械能守恒定律得
则
橡皮条的弹性势能增加6J,则小球的机械能必减少6J,故橡皮条的弹力对小球做功-6J。
5、转换研究对象,将变力做功转化为恒力做功
例5、人在A点拉着绳通过光滑的定滑轮,吊起一质量m=50kg的物体,如图所示,开始绳与水平方向的夹角为
分析:人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力,但方向却时刻在变化,故无法利用恒力公式直接求出人对绳的拉力所做的功。若转换研究对象就不难发现,人对绳的拉力等于物体的重力,所以人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相同,而绳对物体的拉力是恒力,则可以利用功的公式直接求解。
解答:设定滑轮离地面的高度为h,则人向前走的距离为
人由A点走到B点的过程中,物体G上升的高度
人对绳做的功为
6、用公式
例6、质量为m的机车,以恒定功率从静止开始启动,所受阻力是车重的k倍,机车经过时间t速度达到最大值v,求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。
分析:机车的功率恒定,从静止开始达到最大速度的过程中,牵引力不断减小,当速度达到最大值时,机车所受牵引力达到最小值,与阻力相等。在这段时间内,机车所受阻力可认为是恒力,牵引力是变力,因此,机车做的功不能直接用
解答:根据题意,机车所受阻力
根据
根据动能定理
故阻力做功为:
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