因式分解的因式定理法

因式分解是初中数学的一项重要内容。

初中常用的几种因式分解方法包括提取公因式法、添项拆项法、分组分解法、公式法、换元法等。

本文介绍进行因式分解的一种重要方法——因式定理法，适合初中学生阅读。

(一)一元多项式的带余式的除法

类似于整数的带余数除法，一元多项式也有带余式的除法。

为此，需要知道一元多项式的次数。

非零的一元多项式的次数，定义为具有非零系数的最高次幂的次数。

特别地，非零常数作为一元多项式，次数等于

注意：常数 作为一元多项式，次数规定为 这样规定是为了保证两个多项式的乘积多项式的次数等于各自次数的和。

命题(带余式的除法)设 都是关于 的一元多项式，其中 的次数大于 则有唯一的多项式 及唯一的多项式 其中 的次数小于 的次数，使得如下等式成立：

这里的 称为 除以 的商式，而 称为余式。

证明：通过一元多项式的长除法，可以计算出 除以 的商式 及余式 从而给出命题的证明。

(二)一元多项式的长除法

我们通过下面的例子来解释什么是长除法。

例2.1计算 除以 的商式及余式。

解：首先，商式的最高次项等于

商式的最高次项与除式的乘积等于

被除式减去这个乘积，得到第一个差式

第一个差式继续除以除式，得到商式的次高次项

商式的次高次项与除式的乘积等于

第一个差式减去这个乘积，得到第二个差式

其次数小于除式的次数，就是所求的余式。

所求的商式为 除法到此结束，给出等式

注：以上的除法过程称为长除法，图示如下：

可以看出，一元多项式的长除法的运算过程甚至比整数的带余数除法的过程简单。

长除法没有出现在现行中学数学课本中，实在是一个遗憾。

(三)余式定理与因式定理

作为一元多项式的带余式除法的简单情形，除以一次多项式的余式为常数。

余式定理是说，关于 的多项式除以一次多项式 的余数恰好等于被除式在 的值。

余式定理多项式 除以 的余数等于

证明：根据一元多项式的带余式的除法，有多项式 及常数 使得如下等式成立：

在 取值，得到

这就证明了余式定理。

根据余式定理，如果 是多项式 的根，即 那么有因式分解式

因式定理如果 是多项式 的根，那么 是 的因式。

证明：根据余式定理，有多项式 使得

这就证明了因式定理。

(四)利用因式定理作因式分解

为了利用因式定理来实现因式分解，需要找到一元多项式的一个根。

如果需要，两个变元的多项式，也可以人为地看成某一个变元的一元多项式。

在以下例子中，我们说明怎样通过因式定理法做因式分解，得出常用的平方差及立方差公式。

例4.1作为 的多项式， 有根

利用长除法，得到 除以 的商式为

从而有因式分解公式：

例4.2作为 的多项式， 有根

利用长除法，得到 除以 的商式为

从而有因式分解公式：

例4.3作为 的多项式， 有根

利用长除法，得到 除以 的商式为

从而有因式分解公式：

例4.4一般的情况，根据长除法运算，得到因式分解公式：

(五)把二元多项式看作一元多项式

本节通过一个特殊例子来说明，有时把关于 的二元多项式看成关于 的一元多项式，进行整理，就可以完成因式分解。

例5.1对下面的多项式作因式分解：

解：按 进行整理，做乘法展开，得

这就完成了因式分解。

(六)结束语

可以看出，在很多情形，因式定理法是因式分解的有效方法。

掌握这样的根本方法对于在数学学习中取得进步非常重要。

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