抛物线的一些有趣的性质

二次函数的图象抛物线有很多神奇的性质，本篇给出初中解阶段可以理解，可以证明并且有一定应用的四个性质。

1、抛物线平行弦的中点横坐标相同。

先请看下图的动态证明

这个性质在咱们解三角形面积最大值的题型中可用于快速得到答案。如下题下图。

当点P移动到与点A重合时，三角形PAB的面积为零；

当点P移动到与点B重合时，三角形PAB的面积为零；

三角形PAB的面积表达式应该是个二次函数；

二次函数图象有对称性；

你能猜想当点P运动到那个位置时，三角形PAB有最大面积了吗？

大胆猜想，小心求证！

下图给出动态证明（如图动态图不动，耐心等网络传输一会儿数据）

如上图，以AB边为底，过点P作直线PP'∥AB，两条平行线间的距离就是三角形PAB的高，当直线PP'和抛物线相切时，高有最大值，即三角形PAB面积有最大值。此时，弦PP'的中点恰好与点P和点P'重合。

所以，

估计有同学会说：“老师，你不讲武德啊，你不是一直让我们用铅锤高与水平宽积的一半求三角形面积吗？咋又变了呢？”

这个方法不是让同学们在试卷上写解题过程用的，因为推理过程太多了，这个方法是让你快速口算检验铅锤高水平宽的方法有无计算失误的。当然填空选择题可以直接用此结论。

而且此方法与铅锤高水平宽法是相通的，请看下面推理

练习：

这个练习难度稍大，求三角形面积还能用铅锤高水平宽吗？还能用平行弦的中点横坐标求面积的最大值吗？

请同学们独立思考，动手写一写。答案在本篇最后一行

2、抛物线上任意一点与顶点连接，所得线段的铅锤高与水平宽的平方的比为定值。

如下图，我们已经熟知，也无数次用过这个结论。直线上任意两点的连线段，所对应的铅锤高与水平宽的比是定值，这个定值就是斜率k的绝对值。

抛物线上也有类似的结论，如下图

例题：

如用常规方法，则此题过程较多，难度较大，如用上面的结论，则可迅速得到答案，OM=9

3、任意两条抛物线是都相似

是的，你没有看错，我第一看到这个结论也以为眼睛欺骗了我。请先看下面的网络上给出的位似定义，再看我根据定义给出的证明。

如下图，这样画，是不是更象是位似了

看下面的两个能相互重合的抛物线，它们的解析式不同。

4、抛物线的一般式

a决定图象的开口方向和顶点的位置，在某种条件下跟开口大小没关系（如上图）；

b的值变化，a和c的值不变，则抛物线的顶点轨迹与抛物线成镜面反射；

c的值决定抛物线和y轴交点的位置。

没有证明，请看下面的动态图。可以得出上述结论。

（如图动态图不动，耐心等网络传输一会儿数据）

答案：当P点横坐标为4时，三角形ABP的面积最大是8