共边定理的应用

张景中 中国科学院院士

彭翕成 华中师范大学教育信息技术工程研究中心

我们在上一期引入了共边定理，并对共边定理的应用进行举例说明．接下来我们给出更多的例子，你会发现难题并不一定非要用复杂的方法才能解决．共边定理看似平凡，但只要运用得当，也会成为解题的利器．我们先来回顾一下这个定理．

共边定理 若直线 AB 和 PQ 相交于点 M （如图1，有四种情形），则有：

S△PAB:S△QAB=PM:QM

共边比例定理

图1

共边定理的四种情形

例1(2002年'希望杯'初一竞赛题）如图2，已知△ ABC 的面积是1, AF =2FC, BD = DE = EC ．求四边形 GDEH 的面积．

解：四边形 GDEH 不是规则四边形，不能直接求其面积，可先求出 S△BEH 和 S△BCD ，相减即得．

由共边定理， 得

所以 S四边形GDEH=5/42

例2(2003年希望杯'数学邀请赛试题）如图3,△ ABC 的面积等于25, AE = ED , BD =2DC，则△ AEF 与△ BDE 的面积之和等于____，四边形 CDEF 的面积等于_____。

解：利用共边定理，

S 四边形CDEF =20/3

例3如图4,△ ABC 中， AD = ⅓AB ,

BE =⅓BC , CF =⅓CA ．连接 AE 、 BF 、 CD ，围成△ GHI .

问：△ GHI 的面积是△ ABC 的面积的几分之几？

解：由

例4(1985年美国数学邀请赛试题）如图5，三条交于一点的直线把△ ABC 分成6个小三角形．已知其中4个小三角形的面积，如图上所标．求△ ABC 的面积．

图5

对于例4，虽然使用共边定理能够轻松解答，但我们不能就此放过它．有必要进一步思考：为什么列出的三个方程，有一个竟然可以不用呢？是不是题目本身有什么问题？

假设我们将84,40,30,35这四个数中的一个换成 z ，譬如将84换成 z ，那么方程组就有三个方程，三个未知数，也是可以求解的，但计算的难度就要增加不少了．

由以上分析可以知道，如果我们已知6个小三角形中其中3个的面积，就可以求出其余3个小三角形的面积．那么我们可以断定例4有多余的条件，这多余的条件带来的好处就是使题目的难度降低了．

本文的例4给予我们一个启示．对于较简单的题目，我们解答完成后，不要轻易丢弃，要做进一步思考，这样就可能得到更一般的结论，甚至还能发现题目中的漏洞．这对于提高我们的解题能力会大有裨益．

八年级数学·配合北师大教材

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