“1”和“0.9999...循环”的大小关系

尊敬的老师，亲爱的同学们：

大家好，我今天要演讲的题目是《“1”和“0.9999...循环”的大小关系》，不知道大家是否听说过此问题，下面咱们做一下互动：听说过此问题的同学请举手；认为相等的同学请举手；认为“1”大于“0.9999...循环”的同学请举手；认为“1”和“0.9999...循环”不能比较大小的同学请举手。

跟大家互动之后，我发表一下我自己的观点。

首先，我认为“1”和“0.9999...循环”是相等的。从小学到大学，我们有N种方法（N等于正整数）能证明他们相等。比如数列、微积分、无穷级数、极限等等。由于时间原因，下面我就举三个例子：

解法一：

"0.9999...循环"＝"0.3333...循环"×3，

"0.3333...循环"＝1/3，

则"0.9999...循环"＝"0.3333...循环"×3＝1/3×3＝1。

解法二：

令   A＝(0.9999...)

   10A＝(9.9999...)
即是 (0.9999...)×10＝(9.9999...)
    10A－A＝(9.9999..)－(0.9999...)＝9
    A＝1

解法三：

在数轴上找不到一个数比“1”小比“0.9999...循环”大。学会夹逼定理你也会知道,“0.9999...循环”和“1”之间不存在任何一个数，所以“0.9999...循环＝1”。实数轴上两者之间没有空隙。

这些证明看起来完美无缺，天衣无缝。下面我就开始P我自己的观点。

首先我想说：循环的概念不就是无限吗？那“0.9999...循环”不就是后面无限个9吗？那也就是说“0.9999...循环”就是无限接近“1”。或者说无限趋近于“1”，既然是无限趋近，那就是永远不可能相等了。此时，开始的证明又不攻自破了，这难道是个悖论？

其次，如果用做差法比较大小，拿“1”减去“0.9999...循环”，得0.0000000000...无限个0。因为是无限个9，所以得无限个0。既然位数是无限个0，尾数就不可能有1。无限位就是最多了，怎么还能加1？这不实际，互相矛盾。所以不能以一种观念证明“1”是等于“0.9999...循环”，还是大于“0.9999...循环”。这本身是矛盾的，矛盾也是宇宙真理。

再次，我在上面证明时有一个前提，就是把“0.9999...循环”当做有理数来看待。其实我们往数的祖坟上刨的话，“0.9999...循环”就不能算是一个健全的数。有理数是这样定义的：整数和分数统称为有理数，但是“0.9999...循环”不是整数也不一定是分数。其实“0.9999...循环”是唯一一个特殊的无限循环小数。因为“0.9999...循环”是否能化成分数是一个不确定的结果。有个理论是：九分之一等于“零点一一循环”等。所以它不一定能化成分数，从而它就不一定是有理数，所以它就不一定是实数，从而它就不一定是具体的数。我现在的理解方向：它只是个“人为创造出来的一个虚拟的不存在的数”——虽然它从形式上看和“0.3333...循环”、“0.8888...循环”等那么那么类似。

最后我要说，我今天的演讲的目的主要不是讨论“1”和“0.9999...循环”是什么关系，而是教大家一种思考问题的方法，我们不能用有限的视角去看待无限的问题，这样肯定会出现偏差。我们应该用辩证式的思维和批判性的思维思考问题。首先，我们思考问题时应该追述学科史，比如7岁时学的数学，现在已经变成了数学史。其次，我们应该综合各学科的思维来分析问题。比如这道题就涉及数学思维、哲学思维、逻辑思维、物理学思维、宇宙扩大学思维、经济学思维、市场营销学思维。

讲到这里，我想到了亚当斯密在《国富论》一书中所说，从长期来看，产品的价格不应当超过其生产成本。否则，盈利机会必会诱使竞争对手进入市场。随着竞争对手的增加，供应量也会增加，最终拉低价格，逼近成本。这里我把产品的价格比喻成“1”，产品的成本比喻成“0.9999...循环”。所以最后我认为“1”和“0.9999...循环”是逼近的关系。

谢谢大家！