1、如图，已知AM为△ABC的角平分线，
求证：AB:AC=MB:MC。
分析
初通过构造三角形，得到三角形相似，然后得到比例关系。
问题是构造怎么样的相似三角形呢？——我们从问题出发：
在三角形AMC中M顶角处构造三角形。辅助线如下：
答案：
延长AM，过点B作BD//AC交AM延长线于点D，
所以：∠D=∠CAM 又∠BMD=∠CMA
所以：△AMC∽△DMB
所以：BD:AC=MB:MC
又AM是角平分线
所以：∠BAM=∠CAM
所以：∠D=∠BAM
所以：AB=BD
所以：AB：AC=MB：MC
从上面这道简单的证明题，我们可以发现，如果我们做题前对“延长角平分线可以得到平行四边形”的现象当熟悉的话，解题很容易！那么数学素养很重要的是对题给条件的敏感度，能快速地联想到应该用的性质或定理，我们把这种能力叫做思维惯性。那么我们这里把较常见的几类思维惯性，逐个给做下总结，
二、角平分线类
角平分线+延长——“容易得到平行四边形”
角平分线+角相等——“相似或全等三角形”
角平分线+垂直——“角平分线上的点到角两边的距离相等”
角平分线+圆——“三角形的内心是角平分线的的交点”
角平分线+中点——“三线合一”
角平分线+高——“三线合一或等角的余角相等”
角平分线+圆中弦—— “等角对的弦相等“
更多练习题请回复“【数学思维】—角平分线”
↓↓↓↓
联系客服
