音乐和数学, 两者都博大精深, 却又非常抽象。可以说, 音乐和数学是人类所创造的最了不起的文化。这个演讲裡, 我们来谈一谈音乐与数学的奇妙联系。
1. 大自然的规律
大自然运行的规律告诉我们, 一个物体以频率v 震动时, 也会同时以频率2v, 3v, . . . 震动。因此若此物体震动发出了频率為v 的音高, 它也同时发出频率為2v, 3v, . . . 的音高。这些音叫做泛音。在音乐上, 从v 发出的音高到2v 发出的音高称為一个八度(听起来就是低音Do到高音Do 的感觉)。从2v 发出的音高到3v 发出的音高称為一个完全五度(听起来就是Do到Sol 的感觉)。泛音听得到吗? 可以。古典吉他的演奏中就有‘泛音’ 的技巧。比如, 轻触弦的第十二格位置, 然后拨弦的同时把手指放开, 则同学会听到高八度的泛音。底下我们听听吉他的泛音(示范)。為什麼? 因為古典吉他第十二格的位置刚好是弦的一半长, 拨弦的同时把手指放开, 相当於用手指抵销频率v 的震动, 凸显频率為2v 的震动, 这就是第一泛音。人也是震动声带才能发出声音。所以, 理论上人的声音也有泛音。有没有可能唱出泛音,或是同时唱两个音? 可以。西伯利亚的图瓦族(Tuva) 有一种称為“泛音唱法” (overtonesinging) 的传统歌唱方式, 可以同时唱出两个音。听听这个例子(播放音乐)。即使发出相同的音高, 我们仍然能分辨不同乐器的音色(timbre), 因為音色就是不同泛音叠合之后的结果— 也许长笛的第四泛音比单簧管的第四泛音大,诸如此类。有程式设计经验的同学可以试著写个简单的程式让电脑发出单一频率, 没有泛音的震动非常乾涩, 毫无美感可言。
2. 毕达哥拉斯的音阶
传说中毕达哥拉斯(Pythagoras (579-520 B.C.)) 路过一家铁匠店发现四个铁匠打铁的
声音异常悦耳而开始研究声音。他用以下的两个规则试图建立起西洋音乐的音阶。
1. 由v → 2v: 高八度。
2. 由v → 3/2v: 完全五度。
现行的西方音乐是12 音阶, 即一个八度共有12 个半音。我们按照毕达哥拉斯的两个规则可帮乐器调音: 以中央C 為基準。设这个音的频率是v, 则高八度的C 频率是2v, 高八度G 的频率是3v。因此G 的频率是3/2v。因此我们得到G 的频率了。
同理, 下一个得到的音是D, 频率為9/8v.
再下一个得到的音是A, 频率為27/16v。
在此我们要强调, 这个调音方法是合理的, 是符合大自然的规律的。按此我们可得到调音
的顺序:
C(= v) → G =3/2
v → D =9/8v → · · ·注意到每下一个音是完全五度(7 个半音), 但因為一个八度有12 个半音, 而gcd(7, 12) = 1,因此会绕回来。这样绕一圈回来所出现的音的顺序, 称為一个五度圈。五度圈是古典音乐中所有转调与和声的基础。
我们按五度圈一直调音下去:
C → G → D → A → · · · → · · ·F。
此时F 的频率為177147/131072v。
按照五度圈, 再下一个要变成高音C, 频率為177147/131072 × 3
2 = 531441/262144 v。但是不要忘了原来起始的C 频率為v,
因此这个高音C 的频率是2v。我们得到一个非常难堪的结果:
531441/262144 ∼ 2.02728653≠2
同学知道这有多糟糕吧, 这告诉我们, 按照大自然的规则调音, 调出来的音阶是走音的。而且还往上走音。
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