一、利用“二分法”思想巧证不等式
例1. 已知三个正数a、b、c,满足
解析:从所要证的目标的结构上看,可把
设
利用“二分法”思想,要证目标,只需证a在区间
如图1所示,由于二次函数的图象开口方向向上,只需证
因
所以a在区间内,即
图1
二、利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布
例2. 已知函数
(1)
(2)方程
证明:(1)利用
(2)一般地,要证方程
①△
②对称轴落在区间(0,1)内
③区间(0,1)端点f(0),f(1)的符号。
而采用“二分法”,其解法简洁明快,只需证明:
①区间(0,1)两个端点f(0),f(1)的符号都为正(题目已知条件已给定)
②在区间(0,1)内寻找一个二分点,使这个二分点所对应的函数值小于0,它保证抛物线与x轴有两个不同的交点(因a>0抛物线开口方向向上)。
如图2所示,由①②可知方程
图2
在区间(0,1)内选取二等分点
所以结论得证。
若
若还不成立,再看
总之,在区间(0,1)内存在一个分点,使对应函数值为负即可。
例3. 已知函数
证明:用“二分法”来证明。首先在区间(0,1)内寻找一个分点,使这个分点所对应的函数值小于0。在区间(0,1)内选二分点
其次证明区间(0,1)两个端点函数值
因为
所以
注意:证方程
三、利用“二分法”思想巧求最值
例4. 函数
A. 190
B. 171
C. 90
D. 45
解析:因
当
当
当
依次类推,
当
当
利用“二分法”思想,当x是区间[1,19],[2,18],[3,17],……,[9,11]共同二等分点,即x=10时,f(x)取得最小值,所以
故选C。
联系客服