“二分法”思想的应用

一、利用“二分法”思想巧证不等式

例1. 已知三个正数a、b、c，满足

，求证

。

解析：从所要证的目标的结构上看，可把

、

看作一元二次方程

的两个根，同时构造一个区间

。

设

   

利用“二分法”思想，要证目标，只需证a在区间

内即可。

如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证

因

所以a在区间内，即

图1

二、利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布

例2. 已知函数

，

，

，求证：

（1）

且

；

（2）方程

在（0，1）内有两个实根

证明：（1）利用

及

，容易证明（略）。

（2）一般地，要证方程

在（0，1）内有两个实根，只需证明：

①△

②对称轴落在区间（0，1）内

③区间（0，1）端点f(0)，f(1)的符号。

而采用“二分法”，其解法简洁明快，只需证明：

①区间（0，1）两个端点f(0)，f(1)的符号都为正（题目已知条件已给定）

②在区间（0，1）内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x轴有两个不同的交点（因a>0抛物线开口方向向上）。

如图2所示，由①②可知方程

在（0，1）内必有两个不同实根。

图2

在区间（0，1）内选取二等分点

，因

所以结论得证。

若

不成立可看

是否为负

若还不成立，再看

是否为负。

总之，在区间（0，1）内存在一个分点，使对应函数值为负即可。

例3. 已知函数

，

，求证方程

至少有一个根在（0，1内。

证明：用“二分法”来证明。首先在区间（0，1）内寻找一个分点，使这个分点所对应的函数值小于0。在区间（0，1）内选二分点

，

其次证明区间（0，1）两个端点函数值

，

至少有一个为正

因为

所以

中至少有一个为正，由函数的图象可知方程

至少有一个根在（0，1）内。

注意：证方程

在区间（m，n）内有两个不同的解，只需证

，

的符号相同，以及在区间（m，n）找一个二分点t所对应函数值

的符号（它与f(m)，f(n)的符号相反）。要证方程

在区间（m，n）内至少有一个解，只需证f(m)，f(n)中至少有一个的符号与区间（m，n）内的一个二分点t所对应函数值f(t)的符号相反。

三、利用“二分法”思想巧求最值

例4. 函数

的最小值为（    ）

A. 190

B. 171

C. 90

D. 45

解析：因

表示数轴上的动点x到点n之间的距离。

当

最小时，x为区间［1，19］内的任意一个分点；

当

最小时，x为区间［2，18］内的任意一个分点；

当

最小时，x为区间［3，17］内的任意一个分点。

依次类推，

当

最小时，x为区间［9，11］内的任意一个分点；

当

最小时，

利用“二分法”思想，当x是区间［1，19］，［2，18］，［3，17］，……，［9，11］共同二等分点，即x=10时，f(x)取得最小值，所以

故选C。