两个等时圆问题

解答：如图所示，以P为最高点，作一个半径为r的竖直平面内的辅助圆。则质点在光滑斜直轨道PQ上的加速度为

由以上两式得质点从P点由静止开始沿PQ滑到Q点的时间为

，即t与α无关，与r成正比。

作出以P为圆的最高点，相切于半球面A点的辅助圆，如图所示，则PA为最短时间的斜直轨道。设辅助圆的半径为r，则有

在△OPO′中，有

由以上两式得r=R/2

所以

如图所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离

。

解答：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图所示，此时等时圆的半径为：

所以

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