解答:如图所示,以P为最高点,作一个半径为r的竖直平面内的辅助圆。则质点在光滑斜直轨道PQ上的加速度为
由以上两式得质点从P点由静止开始沿PQ滑到Q点的时间为
作出以P为圆的最高点,相切于半球面A点的辅助圆,如图所示,则PA为最短时间的斜直轨道。设辅助圆的半径为r,则有
在△OPO′中,有
由以上两式得r=R/2
所以
如图所示,在同一竖直线上有A、B两点,相距为h,B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板,满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等,求O、P两点之间的距离
解答:由“等时圆”特征可知,当A、B处于等时圆周上,且P点处于等时圆的最低点时,即能满足题设要求。如图所示,此时等时圆的半径为:
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