二次函数中隐含的特殊值和特殊角的应用技巧

二次函数为中考数学中常考压轴题，由于其可以结合三角形、四边形、圆的知识一起考察，因此有关二次函数的压轴题总是变化万千，但是我们却可以从中总结出各种小规律或方法技巧。如果这些小技巧总结归纳多了，做题速度自然而然就提起来了。

常用特殊角：45º、30º、135º （最常见的特殊角表现形式为一次函数的倾斜角或抛物线与坐标轴交点连线的倾斜角或与坐标轴构成夹角的正切值）

常用特殊值：

一、物线与坐标轴交点连线的倾斜角

例1、如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点， 与y轴相交于点C(0，－3)．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

本题重要思想方法：

1）二次函数中，求线段的最值，通常将其转化为求二次函数的最值问题。（转化的思想）

2）注意特殊角的应用。本题首先为BC连线与坐标轴夹角为45º特殊角（等腰三角形中，底角为45º，那么顶角为90º）

例2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．

①当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标；

②连接AP，以AP为边在其右侧作正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．则当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点P的坐标．

二、一次函数的倾斜角为45º

例3、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，过点C，D（﹣3，0）的直线与抛物线的另一交点为E．

（1）请你直接写出：

①抛物线的解析式　 　；

②直线CD的解析式　 　；

③点E的坐标（　 　，　 　）；

（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE＝45°，请你求出此时点P的坐标；

（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH⊥x轴于H，连接QA，QB，当QB平分∠AQH时，请你直接写出此时点Q的坐标．

三、由特殊值知倾斜角为45º

四、正切值及45º特殊角的应用

例5、如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．