截长补短解题策略进阶

初二数学几何专题辅导课（08）

题目：如图，正方形ABCD，以CD为边做等边三角形CDE，BE与AC相交于点F，

求证：EF=CF+BF

本题同样求解线段的和差问题，同样可以采取截长补短的解题策略，具体方法如下：

方法1：截长法，构造翻折型全等（推荐方法）

分析：在FE上截取FG使得FG=FC，仅需求证BF=GE即可，即求证△BFC≌△EGC即可，

简证如下

在FE上截取FG使得FG=FC

∵BC=CE,∠BCE=∠BCD+∠DCE=150°，

∴∠FBC=∠GEC=15°，

∵∠BCA=45°

∴∠GFC=60°

∴△GFC是等边三角形

∴FC=CG，∠FCG=60°

∴∠GCE=∠BCE-∠BCA-∠FGC=45°

∴∠BCF=∠GCE

∵FC=CG，BC=CE

∴△BFC≌△EGC

∴BF=GE

∴EF=FG+GE=FC+BF

方法2：截长法，构造旋转型全等

根据正方形的对称性，易得DF=BF，在EF上截取FC=FH，问题转化为求证DF=HE，仅需求证△CDF≌△CHE。证明过程略。

方法3：补短法，构造翻折型全等（推荐方法）

在FE上截取FG使得FG=FC，仅需求证BG=EF即可，即求证△BGC≌△EFC即可。

简证如下

在FE上截取FG使得FG=FC

∵BC=CE,∠BCE=∠BCD+∠DCE=150°，

∴∠FBC=∠GEC=15°，

∵∠BCA=45°

∴∠GFC=60°

∴△GFC是等边三角形

∴FC=CG，∠FCG=60°

∴∠GCE=∠BCE-∠BCA-∠FGC=45°

∴∠BCG=∠ECF

∵FC=CG，BC=CE

∴△BGC≌△EFC

∴EF=BG=BF+FG=BF+FC

方法3：补短法构造翻折型全等，

在CF的延长线上截取FH=BF，在FG上截取FG=FC，仅需求证CH=EF即可，即求证△CGH≌△FCE

简证如下：

在CF的延长线上截取FH=BF，在FG上截取FG=FC

∵BC=CE,∠BCE=∠BCD+∠DCE=150°，

∴∠FBC=∠GEC=15°，

∵∠BCA=45°

∴∠GFC=60°

∴△GFC是等边三角形

∴FC=CG，∠FCG=∠GFC=60°

∵HF=BF，CF=FG，∠HFG=∠BFC

∴△BCF≌△HGF

∴∠CHG=∠CBF=∠CEF

∵∠FCG=∠GFC，CF=CG

∴△CGH≌△FCE

∴EF=CG=CF+FH=CF+BF

方法4：补短法

分析：在FC的延长线上截取FH=BF，在FG上截取FG=FC，仅需求证FH=EF即可，即求证△FGH≌△FCE即可，证明过程略

方法5：补短法

分析：因为正方形的对称性，易得BF=DF，所以在DF延长线上截取FH=FC，求证DH=EF即可，即求证△CDH≌△CEF即可，证明过程略。

方法6：补短和截长同时运用。

分析：在CF的延长线上截取FH=BF，在FG上截取FG=FC，仅需求证CH=EF即可，即求证△HFG≌△EGC即可，证明过程同上。

方法6：补短法，构造平行四边形（适合初二下学期的小朋友）

简证如下

∵HG∥FC，且HG=FC

∴四边形HFCG是平行四边形

∴FH=GC

∵BG=CF

∴四边形BFCG是等腰梯形

∴∠BFG=∠FBC=∠FEC=15°

∴FG//CE

∴四边形EGCE是平行四边形

∴EF=CG=HF=BF+BH=BF+CF

通过本题，我们掌握孩子们初步感知求证三条线段之间数量关系的解题策略——截长或者补短的解题策略，另外见60°可以构造等边三角形进行线段转化等解题思想，有兴趣的孩子们可以深入思考还可以怎么借助线段间的数量关系来解决本题（提示：相似，勾股定理均可）