湖南株洲中考数学真题，难度较大，值得学习研究

题目：已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q，

（1）如图1，当点P运动到使Q、C两点重合时，求AP的长

分析：第一问的关键在理解“Q、C”两点重合所隐含的意思：PC是圆O的切线。理解了这一点，第一问就不难了。

由题目：OB⊥AB，PC⊥AC，

不难知道△ABO相似于△ACP，

由∠DAB=30°可得AO=2×OB=2，AB=√3，所以AC=1，

由三角形相似得：AP/AO=AC/AB，解得AP=2√3／3。

（2）点P在运动过程中，有几个位置使△CQD的面积为1/2？

分析：因为CD是直径=2，当△CQD的CD边上的高是1/2时，面积是1/2，

由圆的对称性，显然以CD为对称轴，有4个点可使△CQD的面积为1/2？

（3）如图2，当△CQD的面积为1/2，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时，求AP的长

分析：求AP的长，显然通过相似三角形的对应边成比例来求解。

由题目的条件，可得△CQD的CD边的高是1/2，那就过点Q做QE⊥CD，垂足为E，

过点P做PF⊥AC，垂足为F，如下图，

可知△PFC相似于△QEC，

观察图形，可知需要利用△DEQ相似于△QEC，△APF相似于△AQB，

解得DE=1-√3/2，CE=1+√3/2，

设FP=x，则AF=√3x，FC=1-√3x，

由FP/QE=FC/CE，解得x=(√3-1)/4，

所以AP=2x=(√3-1)/2。

小结：相似三角形是数学中考的重点。直角三角形斜边上的高所分成的两个直角三角形和原三角形相似必须熟练掌握。