三点共线与三线共点的证明方法

一、三点共线的常用证明方法

（一）利用平角180°

例1 如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点.将△ADC绕点C顺时针旋转90°得到△BEC，点D的对应点为点E.

（1）如果AD：CD：BD=1：2：3，求证：A，D，E三点共线；

（2）如果A，D，E三点共线，AD，CD，BD满足什么样的关系？

解析：（1）连接DE，欲证A、D、E三点共线，只需要证明∠ADE=180°，即证∠ADC+∠CDE=180°.

由旋转，可知：CD=CE，∠DCE=90°，AD=BE，∠ADC=BEC，

所以△CDE是等腰直角三角形，

所以∠CDE=∠CED=45°，

因为AD：CD：BD=1：2：3，

所以可设AD=BE=a，CD=2a，BD=3a，

则DE=2√2a，

所以BE2+DE2=a2+8a2=9a2=BD2，

所以∠BED=90°，

所以∠CEB=135°=∠ADC，

所以∠ADE=135°+45°=180°，

所以A、D、E三点共线；

（2）逆着（1）的思路可知：如果A，D，E三点共线，AD，CD，BD满足的关系是：AD2+2CD2=BD2.

（二）利用平行公理

例2 如图，等边△ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，求证：D、F、E三点共线.

解析：连接DE，DF，欲证D、F、E三点共线，只需要证明DE，DF平行于同一条直线即可.

由平移可得：BE平行且等于CD，

所以四边形BCDE是平行四边形，

所以DE//BC；

由旋转，得：BF=BD，∠DBF=∠DBC=60°，

所以△BDF是等边三角形，

所以∠BDF=60°=∠DBC，

所以DF//BC，

由平行公理可知DE、DF是同一条直线，

所以D、F、E三点共线.

二、三线共点的常用证明方法

（一）转化为三点共线的证明

例3 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，P是BC延长线上一点，连接AP.点M是线段AP上的点，满足∠AMC=120°，求证：直线AB，CM，PD相交于同一点.

解析：首先设AB、CM相交于点O，连接OD，则欲证直线AB，CM，PD相交于同一点，只需要证明O、D、P三点共线即可.

因为四边形ABCD是菱形，∠B=60°，

所以△ABC和△ACD都是等边三角形，

所以∠CAD=60°，

即∠CAM+∠MAD=60°，

因为∠AMC=120°，

所以∠CAO+∠ACO=60°，

所以∠MAD=∠ACO，

又因为AD//BP，

所以∠MAD=∠APC，

所以∠ACO=∠APC，

又∠OAC=∠ACP=120°，

所以△ACO∽△CPA，

所以AC：CP=AO：AC，

因为AC=CD=AD，

所以CD：CP=AO：AD，

因为∠OAD=∠DCP=60°，

所以△OAD∽△DCP，

所以∠ODA=∠DPC，

所以∠ODP=∠ODA+∠ADC+∠CDP

=∠DPC+∠DCP+∠CDP

=180°，

所以O、D、P三点共线，

所以直线AB，CM，PD相交于同一点O.

（二）利用同一法则

例4 如图，矩形ABCD中，E是BC上的动点，延长EB到F，使BF=BE，G为AD的中点，求证：直线AE，BG，DF三线共点.

解析：设AE、DF相交于点O，连接BO并延长交AD于H，则欲证直线AE，BG，DF三线共点，只需要证明BG和BH是同一条直线，即证点H是AD的中点即可.

因为AD//BC，

所以△OAH∽△OBE，

所以AH：BE=OH：OB，

同理，DH：BF=OH：OB，

所以AH：BE=DH：BF，

因为BE=BF，所以AH=DH，

所以H是AD的中点，

因为G是AD的中点，

所以BH和BG是同一条直线，

所以直线AE，BG，DF三线共点.