一线三等角在相似三角形中的应用

首先，我们先来看一线三等角的特殊构造： 如图，A、D、E在一条直线上，△ABC为等腰直角三角形， ∠BAC = 90°，BD⊥DE，CE⊥DE。这里，我们容易得到：△ABD≌△CAE。

最初形式

这个就是一线三等角的最初形式。

然后，我们再看更一般的形式，如果△ABC不是等腰，AB≠AC，如图，这个时候△ABD和△CAE肯定不全等，那么，它们是什么关系呢？

很容易，可以得到∠DAB=∠ECA，△ABD∽△CAE，它们相似。

一线三直角

注意看这张图，点D、A、E在一条直线上，并构成三个直角，这张图就叫做一线三直角。注意，是一线三直角， 还没进化成一线三等角。

那么，得出它们相似有什么用处呢？当然是得到比例线段，比如AD/BD = CE/AE。根据比例线段求线段长是这类模型的主要用途。

我们得到一线三直角后，还可以继续探讨。如果这三个角不是直角，但是它们相等，还能得到相似吗？

如图，A、D、E在一条直线上，∠D=∠1=∠E=80°, 我们同样可以得到：△ABD∽△CAE。道理和之前的差不多。同样可以得到比例线段。

一线三等角

如果把图中三个80°的角变成其他度数的角，同样可以得出相似以及比例线段。

一般地，只要A、D、E在一条直线上，并且，∠BAC=∠D=∠E，我们都有：

△ABD∽△CAE

这就是一线三等角的一般形式。进而有比例线段：

实际解题时，往往将一线三等角伪装起来，比如包含在等边三角形中。

例1：如图，已知等边△ABC的边长为2，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，并且，BD=1，BE=1/3，∠DEF = 60°，求CF的长。

例1图

这里，易得∠DEF =∠B =∠C，构成一线三等角，从而有△BDE∽△CEF，得到BE/BD = CF/CE，很容易可以求出CF的长。

一线三等角可以隐藏在一般的等腰三角形中。问题的关键就是找出隐藏的一线三等角。我们再看坐标系中隐藏的一线三等角。

例2：如图，在直角坐标系xOy中，A(0，1)，B(2，0)，第一象限内的点C满足AC⊥AB，且AC = 3，求点C的坐标。

例2图

我们对比一下一线三等角的模型，只要作CH⊥y轴于H，就可以得到三个直角构成的一线三等角模型。从而有△ACH∽△BAO，通过比例线段即可得出AH和CH的长，从而得出点C的坐标。

给大家留两个习题：

1、如图，在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，点D在BC上，∠EDF = 45°，角的两边于AB、AC分别交于E、F．若BC = 4，BD = 1，BE = 3/2，求CF的长。

2、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE = 60°，若BD = 3，CE = 2，求△ABC的边长。