首先,我们先来看一线三等角的特殊构造: 如图,A、D、E在一条直线上,△ABC为等腰直角三角形, ∠BAC = 90°,BD⊥DE,CE⊥DE。这里,我们容易得到:△ABD≌△CAE。
最初形式
这个就是一线三等角的最初形式。
然后,我们再看更一般的形式,如果△ABC不是等腰,AB≠AC,如图,这个时候△ABD和△CAE肯定不全等,那么,它们是什么关系呢?
很容易,可以得到∠DAB=∠ECA,△ABD∽△CAE,它们相似。
一线三直角
注意看这张图,点D、A、E在一条直线上,并构成三个直角,这张图就叫做一线三直角。注意,是一线三直角, 还没进化成一线三等角。
那么,得出它们相似有什么用处呢?当然是得到比例线段,比如AD/BD = CE/AE。根据比例线段求线段长是这类模型的主要用途。
我们得到一线三直角后,还可以继续探讨。如果这三个角不是直角,但是它们相等,还能得到相似吗?
如图,A、D、E在一条直线上,∠D=∠1=∠E=80°, 我们同样可以得到:△ABD∽△CAE。道理和之前的差不多。同样可以得到比例线段。
一线三等角
如果把图中三个80°的角变成其他度数的角,同样可以得出相似以及比例线段。
一般地,只要A、D、E在一条直线上,并且,∠BAC=∠D=∠E,我们都有:
△ABD∽△CAE
这就是一线三等角的一般形式。进而有比例线段:
实际解题时,往往将一线三等角伪装起来,比如包含在等边三角形中。
例1:如图,已知等边△ABC的边长为2,D、E、F分别是AB、BC、CA上的点,并且,BD=1,BE=1/3,∠DEF = 60°,求CF的长。
例1图
这里,易得∠DEF =∠B =∠C,构成一线三等角,从而有△BDE∽△CEF,得到BE/BD = CF/CE,很容易可以求出CF的长。
一线三等角可以隐藏在一般的等腰三角形中。问题的关键就是找出隐藏的一线三等角。我们再看坐标系中隐藏的一线三等角。
例2:如图,在直角坐标系xOy中,A(0,1),B(2,0),第一象限内的点C满足AC⊥AB,且AC = 3,求点C的坐标。
例2图
我们对比一下一线三等角的模型,只要作CH⊥y轴于H,就可以得到三个直角构成的一线三等角模型。从而有△ACH∽△BAO,通过比例线段即可得出AH和CH的长,从而得出点C的坐标。
给大家留两个习题:
1、如图,在△ABC中,∠A = 90°,AB = AC,点D在BC上,∠EDF = 45°,角的两边于AB、AC分别交于E、F.若BC = 4,BD = 1,BE = 3/2,求CF的长。
2、如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE = 60°,若BD = 3,CE = 2,求△ABC的边长。
联系客服