正弦（sine），数学术语，是三角函数的一种，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。
图1
在Rt▲ABC中∠C=90°。对∠A而言，对边BC=a、斜边AB=c、邻边AC=b，则存在以下关系：
基本函数 | 英文 | 缩写 | 表达式 | 语言描述 |
正弦 | sine | sin | a/c | ∠A的对边比斜边 |
余弦 | cosine | cos | b/c | ∠A的邻边比斜边 |
正切 | tangent | tan | a/b | ∠A的对边比邻边 |
余切 | cotangent | cot | b/a | ∠A的邻边比对边 |
正割 | secant | sec | c/b | ∠A的斜边比邻边 |
余割 | cosecant | csc | c/a | ∠A的斜边比对边 |
历史溯源
三角函数的诞生源于人们对“测量技术”的需求。古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，c. 190 – c. 120 BC）为了测量天球上的角度和距离，制作了人类历史上第一张“和弦表”（a table of chords），也被称为三角学的创始人。为了研究天文学，喜帕恰斯创立了三角学和球面三角学 。喜帕恰斯留下大量的观测资料。几何教科书中的“托勒密定理”，实出自喜帕恰斯之手，托勒密只是从他的书中摘出。从托勒密定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于四点共圆性的基本性质。
所谓“和弦”即圆上两点之间的连线（更一般的也可以指任意曲线上的两点连线），如图2所示，设∠AOB=α是圆上的圆心角，则AB即为圆心角所对应的和弦长度。
图2
想象A和B是天球上的两颗星，AB的距离就等于喜帕恰斯的和弦。如果采用现在我们熟知的正弦来计算，则有chord(α)=AB=2r*sin(α/2)，这里，r为圆半径；chord(α)表示角α所对应的和弦。可见，喜帕恰斯的“和弦表”本质上就是正弦表。“和弦”的一半再除以圆的半径就是正弦，因此正弦也被称为半和弦。喜帕恰斯所设想的圆半径为3438个单位，在他的“和弦表”，每7.5度为一个增量，喜帕恰斯也成为了第一个系统使用一个圆有360度的人。
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。《几何原本》共13卷，其中：第1卷研究了三角形全等的条件、三角形边和角的大小关系、平行线的理论、三角形和多角形等积的条件；命题12和13本质上给出了钝角和锐角余弦公式。如命题12为：
在钝角三角形中，钝角所对边的正方形（平方的意思）等于钝角两边的正方形之和在加上钝角边乘以该钝角边向外延伸，被该边上垂线截断部分的长。
图3
图3所示，钝角△ABC，BH⊥AC于H，则对边长为：AB²=AC²+BC²+2*AC*BC*cos(π-γ)
很明显就是我们熟知的余弦定理。
阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。公元前3世纪，阿基米德提出了断弦定理，相当于现在三角函数的和差化积公式。断弦定理描述为：如图4所示，设AB和BC组成了圆上的断弦，有BC >AB，若M是ABC弦的中点，过M作BC的垂线，垂足为D，则有AB+BD=DC
图4
假定单位圆上令弧MC=2x，弧BM=2y，则弧AB=2x-2y。更进一步，可以利用正弦求出对应弦长，即AB=2sin(x-y)，BM=2siny，MC=2sinx。根据圆心角是圆周角的2倍，
可知BD=BM·cosx=2siny·cosx，DC=MC·cosy=2sinx·cosy。
将其代入断弦公式，可得和差化积公式：sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny
梅涅劳斯，公元70～140年，古希腊数学家，天文学家。青年时期求学于Alexandria，后定居于Rome。他第一个认识到曲面上的测地线（geodesics）可以类比于平面上的直线。梅涅劳斯的诸多著作中只有《球面学》以阿拉伯文的译本形式流传下来，其后有各种校订本，著名的曼苏尔的修订本，现存于莱顿大学图书馆。
《球面学》（约公元98年）全书共3卷，在第一卷中，他建立了球面三角形的原理，他发现在球面上，三角形只要对应角相等，两个球面三角形就相等，而且球面三角形的内角和大于180度。这似乎已经是非欧几何了。卷二主要是建立一些对天文学有用的命题，卷三才开始正式球面三角学的论述。第一个命题就是球面的“梅涅劳斯定理”，现在在平面几何和射影几何中有平面的“梅涅劳斯定理”，俗称“梅氏定理”。
克罗狄斯·托勒密（Claudius Ptolemaeus,）“地心说”的集大成者，约公元90年出生于埃及的托勒马达伊，曾在亚历山大城居住和工作，168年去世。托勒密最重要的著作《天文学大成》中，记载着一些他本人所作的天文观测，这是确定他生活年代、工作地点的最可靠的资料。
托勒密在《天文学大成》中扩展了喜帕恰斯的和弦表，托勒密以1/2增量，给出了从1/2度到180度的和弦表。托勒密的和弦表借助于托勒密定理验算，该定理给出了圆内接四边形的四边与两条对角线之间的关系，如图5所示，四边与对角线的关系为AC·BD=AB·CD+BC·AD。
图5
只需令AB、BC和CD分别对应所对应的内接角（圆周角）分别为α，β，γ，利用圆心角是圆周角的两倍，设圆半径为r，则有AB=2r·sinα，BC=2r·sinβ，CD=2r·sinγ，则有：
AD=2r·sin(180°-(α+β+γ))，AC=2r·sin(α+β)，BD=2r·sin(β+γ)。
代入托勒密定理，即可得sin(α+β)·sin(β+γ)=sinα·sinγ+sinβ·sin(α+β+γ)。
也就是我们现在熟悉的积化和差公式，差别只是托勒密使用的是和弦，而不是我们熟悉的正弦和余弦。托勒密还得到了半角公式的等价形式：sin²(x/2)=(1-cosx)/2
也就是勾股定理，毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年~约前500（490）年），古希腊数学家、哲学家。由于毕达哥拉斯已经知道了毕达哥拉斯定理，在三角运算中，很容易由毕达哥拉斯定理导出三角恒等式，即sin²x+cos²x=1。
公元4-5世纪，三角学在印度得到了非常重要的发展，在一本名为Siddhānta（译为：悉达多，字面意思为“既定的意见、教义、公理或被承认的真理”）的天文学著作中正确的给出了正弦的定义。而后，印度数学家、天文学家Aryabhata（公元 476-550）在他的著作Aryabhatiya中给出了完整的三角函数表达，他们以jya表示正弦sin，kojya表示余弦cos，utkrama-jya表示正矢（1减去某角度的余弦，即1-cosθ），otkram jya 表示反正弦arcsine。
阿尔·花拉子模（ 英语：Al - Khwarizmi，约780～约850），全名穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花剌子模(Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy)，拉丁名阿尔戈利兹姆(Algorismus)。出生于阿拉伯帝国大呼罗珊地区的花剌子模。波斯数学家、天文学家、地理学家。代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。花刺子密第一次做出了正切表；
阿拉伯马尔瓦齐（Ahmad ibn 'Abdallah Habash Hasib Marwazi, 766 - 869）给出了余切，并完整的应用了正弦、余弦、正切、余切；巴塔尼（Al-Battani, c.858–929）发现了正割(sec)和余割(csc)函数，并制作了第一张从1°到90°每个度数的余割表。至此，六个三角函数全部具备了，三角函数之间的相互运算（如和差化积、积化和差）也具备了。
三角学输入中国，开始于明崇祯4年（公元1631年），这年邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部分呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。《大测》主要讲造表法、用表法和三角八线的性质。所用公式为“三要法。和“二简法”。其中许多名词，如弦、正弦、余弦、余切，余割等，沿用至今。还涉及了平面三角形的正弦定理、余弦定理、正切定理及直角三角形解沾等。在三角测量方面，本书不谈球面三角法是一缺憾。序言称“大测者，测三角形法也”。“测天者所必须，大于他测，故名大测”。
在《大测》中，首先将sine译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了“正弦”一词的由来。
《大测》创作背景：玉涵字函璞，瑞士人。万历时来中国。崇祯二年因徐光启荐，参与修历。据推断该书是依德国毕笛斯克斯(1561—1613)《三角法》和荷兰斯台汶(1548—1620)(数学记录》编译成书。成书于崇桢四年。收入《崇祯历书》。又收入《古今图书集成·历法典》。
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