“化归思想”什么意思？三角化归公式怎么来的？

如果有一道小题，让你求sin15°的值，你会怎么算呢？

30°、45°、60°这几个特殊角的正弦值我们都知道，初中就背的滚瓜烂熟，但15°不是特殊角，要想求它的值，我们只能给15°做个变形，让它变成我们熟悉的特殊角才能计算出来。

1、我们首先想到，15°是30°的一半，我们可以尝试用半角公式试试：

整理下就可以得到：

现在的问题是如何开方？

15°的正弦值肯定是正值，这个不用担心，但正弦的平方还带着一个根号，开方似乎不是太容易。

我们只有把等式右边写成一个完全平方式才可以把它开方，可它会是一个怎样的完全平方式呢？

假如你对数字比较敏感，你可以采用猜或者凑一凑的办法去尝试，或许很快就可以得到答案；

但如果你没有经验，那就需要多次尝试，坦白地说，试错的过程可能会让你很崩溃。

实际上我们没必要费那么多脑筋，我们只需要按部就班地按照自己熟悉又确定的路子走，就可以得到结果。

你可以这样想，一个完全平方式的一般式是这样子的：

而需要写成完全平方式的数字是这样的：

二者相比较，那么

也就是说你不用去猜也不用去凑数字，你只需要解出这个方程来，就一切OK。

解方程我们会啊，直接代入，最后得出

也就是:

2、好，我们现在从另一角度取解决这个问题：

用45°减去30°，以及60°减去45°都可以得到15°，那我们采取求两角差的正弦值一样可以把sin15°求出来。

我们发现第二种方法比第一种方法更容易得出结果。

当然第二种方法你也可以使用60°减去45°，过程和结果都没有什么区别。

日常解题的时候，只要有简单方法，我们肯定不用复杂方法。

我们现在需要来仔细研究一下我们刚才解题的思路：

我们遇到的问题是求15°的正弦值，直接求解，我们不会做，但我们可以把这个问题转化为我们会做的，转化之后，我们可以使用我们熟悉的路径和法则，去解决这种不熟悉的问题。

这种把复杂的问题简单化、把不熟悉的问题熟悉化、把不确定的问题确定化的做法，就称为“化归”。

有意识地使用这种“化归”方法解决问题的指导思想，就是我们数学上常说的“化归思想”。

其实这玩意不只是数学上用吧？它应该是人类解决复杂问题、困难问题、既复杂又困难又新的问题的核心指导思想才对。

只不过在数学解题过程中，这种思想表现的比较有分寸感、很拿捏人而已。

比如我们常说的“换元法”、“构造法”、“恒等变形”，把高次幂转换为较低的次幂、把方程问题转化为直观的几何问题、把多边形问题转化为简单的三角形问题、把立体问题转化为平面问题、都是化归思想的直接应用。

我们换的“元”，“构造”的新函数、用到的“恒等式”等，本质上都是转化过程中的一种桥梁，一种媒介而已。

这就意味着，只要你掌握的桥梁、媒介越多，你把复杂问题简单化的手段就会越多，把不确定性的问题转化为确定性问题的途径就越多。

就比如我们刚才对2-根3再开根，你用猜和试一试的办法当然可以，但这只是一种耍小聪明的方法而已，它不是解决这个问题确定的办法，但你去解方程，它就是一种确定无疑的办法。

扯得远了。

我们把话题拉回到三角函数中一个常用的化归公式：

这个公式常常用到，也是我们刚才讲到的一种“桥梁”，我们现在的问题是，它怎么来的？

如果您有好的想法，欢迎留言或私信哦，明天我也会把自己对这个问题的理解贴出来，大家一起探讨！

感谢您的阅读！