新高考高中数学导数函数 导数放缩思想 高中函数最值

大家好，今天一起来看一道这道导数题目。已知f(x)等于e的x次方减去mx加n减1，如果对于x属于任何实数，都有f(x)大于等于0恒成立的，求一下m分之n减m的最小值。

首先看一下了，对于x属于任何实数，f(x)都大于等于0，也就是e的x次方大于等于mx减n加1。然后看一下，左边是一个指数函数，右边是一个一次函数，指数函数大于等于一次函数。

根据图像是不是应该是这样子的，从这样的一个图像分析，可以得到m是为正的，而且m不可能等于0的，因为m等于0，求的式子就没意义了，所以m一定是大于0的。由于m大于0，可以把这个不等式转换一下，把m除一下，左右两边除以m，不等号不变的，所以就得到了m分之e的x次方大于等于x加上m分之一减n了。

这里就有m分之一减n，但是题目要的是m分之n减m，怎么办？可以把m改成e的lnm次方，然后根据指数运算，就是e的x减去lnm的次方大于等于x加上m分之一就n了。凡是看到指数的形式，就需要用到指数的放缩，就是e的x次方大于等于x加一了，这个一定要记住。

所以这个不等式可以改写成e的x减lnm次方，它是大于等于x减去lnm加一，然后就转换成要证明x减去lnm加一大于等于x加上m分之一减n了。

现在可以把x约掉了，就是要证明m分之n减m大于等于lnm加上m分之一减二，这里设g(m)等于lnm加上m分之一减二。这道题目就变成了一个存在性问题。记住了这道题目求的是存在性，不是恒成立问题。存在性是什么意思？只要多项式存在大于等于g(m)的最小值就可以了。

现在这道题对g(m)求导，得到g(m)等于m分之一减去m平方分之一，通分就得到了m平方分之m减一。经过分析，g(m)的最小值就是当m等于一的时候，也就是g(1)是等于-1的。所以这道题的答案，m分之n减m的最小值就是-1了。这道题目就解决完毕。