山东德州2020中考数学第24题最后一问解法探讨（1）

题目：如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，在BD上取一点F，以BF为斜边作RT△BEF，其中∠BEF=90°且BE=2EF，点G是DF的中点，连接GC，GE，求证：GE=GC．

审题：此题有一个中点（点G是DF的中点），还有两个相似的直角三角形（RT⊿BCD和RT⊿BEF），且他们含有一个公共顶点点B，让我们自然联想到手拉手模型。但由于对应关系不对，构成的却不是手拉手模型。那么我们如何将其转化成手拉手模型，就成了解决这道题的关键！

思路1：将⊿BEF与⊿BCD补成两个相似的的等腰三角形，且点B为公共的顶角顶点，此时手拉手模型构造成功。

解法1：延长FE到H，使EH=EF，连接BH。延长DC到M，使CM=CD，连接BM。显然⊿BHF和⊿BDM都是等腰三角形，其顶角是相等的， 且具有公共的顶角顶点B。这样⊿BDH与⊿BMF就必定全等，而且是绕点B旋转了∠DBM的度数的全等（其实就是手拉手模型的旋转全等）！故易证DH=FM。显然此时EG和CG分别是⊿FDH与⊿FDM的中位线，所以GE=DH/2 , GC=FM/2,而DH=FM，故GE=GC。

思路2：参照⊿BEF，延长DC到M，使CM=CD，再连接BM。显然⊿BEF与⊿BCM是相似的两个直角三角形，且点B为其公共的对应角的顶点，这样就可以构成手拉手模型的旋转相似。

解法2：延长DC到M，使CM=CD，再连接BM，连接EC，FM。显然⊿BEF和⊿BCM都是直角三角形，两直角边之比都是2，又具有公共的对应角的顶点B，这样就构成了手拉手模型。易证⊿BEC与⊿BFM相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！故可得FM：EC=根号5:2，且FM与EC的夹角等于∠CBM。

显然此时GC是⊿DFM的中位线，所以GC∥FM且GC= FM/2。所以GC:EC=根号5:4且∠5=∠4。过G作GN⊥EC于N，则⊿GNC是直角三角形且tan∠5=1/2，故易证NC=EC/2。故GE=GC。

思路3：参照⊿BCD，延长FE到H，使EH=EF，再连接BH。显然⊿BEH与⊿BCD是相似的两个直角三角形，且点B为其公共的对应角的顶点，这样就可以构成手拉手模型的旋转相似。

解法3：延长FE到H，使EH=EF，再连接BH，连接EC，DH。易证⊿BCE与⊿BDH相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！故可得DH：EC=根号5:2，且DH与EC的夹角度数与∠DBC度数相等。

显然此时EG是⊿FHD的中位线，所以EG= DH/2且∠5=∠3=∠4。所以EG：EC=根号5:4。过G作GN⊥EC于N，则⊿GNE是直角三角形且tan∠5=1/2，故易证NE=EC/2。故GE=GC。

归纳：以上三种证法都是对⊿BEF与⊿BCD中的一个或全部进行翻折变换，从而构成以点B为旋转中心的手拉手模型，然后或旋转全等，或旋转相似，再结合中位线定理，从而使问题迎刃而解！其中解法2和解法3都是证得一个三角形的一边与最长边的的夹角的正切值等于1/2，且长度之比为根号5:4，从而得到这个三角形是等腰三角形，方法值得回味！

将解法1,2,3的图形融合在一个图中，看着他们之间千丝万缕的联系，不由得让我们产生妙手天成的感叹！