探索解析几何中重要的数学思想方法

1.函数与方程思想
函数与方程，很多时候可以看做同一个表达式的两种不同理解，如一次函数的解析式可以看作直线方程，二次函数的解析式可以看作抛物线的方程。方程的根可以看作某函数在函数值为零的时候的自变量x的值，同样在一个含有两个未知数的方程中，我们也可以将一个未知数用另一个未知数表示，即得出一个变量关于另一个变量的函数。函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画。因此，函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提问数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。与这种思想相联系的就是方程思想，在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后根据题设本身各量间的制约关系，列出方程求得未知数。函数与方程的统一为代数与几何问题的解决开辟更为广阔的空间，函数的最值问题可以通过方程根的存在性来解决，同样方程根的存在性可以转化成相应的两个函数图像有无交点。
对于方程思想，我们要从问题的数量关系着手，通过数学语言的运用，把问题中的条件转换为不等式或数学模型方程，然后通过解方程或不等式来使问题获解。她它是高中数学最基本的思想方法之一，是历年高考重点。
用方程思想来解题的关键是利用已知条件公式或定理中的已知结论构造方程。这种思想在代数几何以及实际生活中有着广泛的应用。
在研究圆锥曲线方程思想的过程中，我们可以从以下几个方面进行考虑:
（1）逐步探求方程个数与未知数个数之间的关系，进而揭示函数与方程的思想实质。
（2）在函数与方程等数学思想的渗透过程中，提高对圆锥曲线问题的分析能力与解决能力。
（3）通过探求方程个数与未知数个数之间的关系，逐步形成解决圆锥曲线问题方法与思维习惯，以及处理问题的大局观。
2.分类与整合思想
就是当面临的问题，情境复杂，给出的某个条件情况不唯一，存在这样或那样的可能性一致结论不唯一时，我们可以选择一个适当的标准。不从不漏的将其分解为一系列情景单、层次单一而且比较熟悉的小问题 然后各个击破，再把解决了的小问题综合起来而获得对圆问题的解决。分类原则要满足:（1）分类中的各子集是互相排斥的， 即没有重复。（2）分类中所有子集的并集应等于全集，即没有遗漏。（3）每次分类必须持相同本质属性的标准。（4）分类与整合应当逐级进行，不能越级。
圆锥曲线中有大量的问题，需要分类与整合才能解决。
3.转化与划归思想
任何数学问题的解决过程，就是把未知解法的问题转化为在已有知识范围内可解决的问题，等价转化要求转化过程中前因后果应是充分必要的，这样的转化才能保证转换后所得结果仍为原题的结果，等价转化的思想曾出现在我们用分析法解决证明问题的过程中，在圆锥曲线中，他也是我们必不可少，且占有举足轻重地位的一种思想方法。
数学是研究数量，形式和数量关系的相互转换，已知与未知，多与少，抽象与具体，有限与无限，数与形都在一定的条件下相互转，化，从未知领域出发，向已知领域转化，为了实现转化，就要借助于代换。圆锥曲线是中学中一个重要的概念，它涉及的知识面广，求解的灵活性大圆锥曲线问题，有很强的类比性，因此可以相互转化。
数学问题的求解过程，我们也可以将其看作是问题的转化过程，它集中体现在条件有“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”！即从陌生向熟悉，复杂向简单，间接想直接的过程。