默认分类2010-05-08 16:15:08阅读95评论0 字号:大中小 订阅
摘要:通过对实数完备性的相关理论的学习,我们虽然掌握了证明七条定理的某些方法,但我们没有对他们进行依次的推证,下面我对其进行了依次的推证,从确界定理 单调有界原理 Cauchy 准则 致密性定理 聚点定理 闭区间套定理 有限覆盖定理 确界定理
关键词:确界定理 单调有界原理 Cauchy 准则 致密性定理 聚点定理 闭区间套定理 有限覆盖定理
我们知道,实数空间是一种集合R,其中的元素为实数,且在这个集合上定义了加”+”,乘,运算,以及序关系”<”,满足以下的公理:
1. 域公理 即任意的x, y, z∈R(实数域)有:
(1).交换律 x+y = y+x, x﹡y = y﹡x .
(2).结合律 (x+y)+ z = x + (y+z),(x﹡y) ﹡z = x﹡(y﹡z).
(3).分配律 x﹡(y+z) = x﹡y + x﹡z.
(4).有两个特殊的成员0与1,对任意的x∈R有 x+0 = x, x﹡1= x.
(5).每个x∈R有关于"+"的逆元-x;关于"﹡"的逆元1/x,使得
x+(-x)=0,x﹡(1/x)=1.
2.与加"+"、乘"﹡"运算相容的全序公理:
(1)任意的x,y∈R,以下三种关系:x<y,x=y,x>y必有一个且仅有一个成立.
(2).传递性 若x<y,y<z,则x<z.
(3).与“加法”相容性 若x<y,z∈R,则x+z<y+z.
(4).与“乘法”相容性 若x<y,z>0,则x﹡z<y﹡z.
3.(Archimedes公理) 任意 x>0, y>0,存在n∈N ,使得nx≥y.与有理数不同,实数具有完备性.
4.完备性公理:有上界的非空集合必有上确界.
鉴于此,我们对实数有了大体的了解,而下面用实数的7个基本定理以不同的形式刻画了实数的连续性.
一、七条定理的内容分别如下:
(1).(确界定理)任何R中的非空集E,若它有上界,则必有上确界supE∈R(等价的若有下界,必有下确界)
(2) .(单调有界原理) 任何R中的单调递增、有上界的序列{ Xn },必有极限lim Xn∈R(n 趋于∞).(等价地,单调递减、有下界也必有极限.)
(3).( Cauchy 准则) 对R中的序列{ Xn }收敛的充分必要条件是任意的a>0,存在N,当m,n>N时,有 | Xn—Xm | < a.
(4). (致密性定理) 任何有界的无穷序列必有收敛的子序列.
(5). (聚点定理) 任何有界无穷集,至少有一个聚点.
(6). (闭区间套定理) 任何闭区间套,必存在唯一的公共点.
(7).(有限覆盖定理) 闭区间上的任意开覆盖,必存在有限子覆盖.
二、下面为七条定理的相互推证。
下图为证明的推导流程图:
单调有界原理 |
Cauchy 准则 |
聚点定理 |
有限覆盖定理 |
确界定理 |
(1). 用确界原理来证明单调有界定理:
证明,因为R中的{ Xn }为单调序列,不妨设{ Xn}单调递增,由已知条件,{ Xn }有界,由确界原理知,{ Xn }有上确界,记为a=sup{ Xn }∈R.又有上确界的定义,且{ Xn}单调递增,则对于 >0, N,使当n>N时,有a- < Xn <a+ ,| Xn -a|< ,故有lim Xn =a(n ).且a∈R.则该定理得证.
(2). 用单调有界定理来证明Cauchy准则定理:
证明, )由于{ Xn } 收敛,不妨设lim Xn = a(n),则对于 >0, N1,使当n>N1时,有| Xn -a|< /2,且对于 >0, N2,使当m>N2时,有| Xm-a|< /2.取N=max{N1,N2}.则对于 >0, N,使当m,n>N时,有
| Xn - Xm | | Xn -a|+|Xm-a|< /2+ /2=
由于对 >0, N,使当m,n>N时,| Xn - Xm |< ,由单调有界原理知,{ Xn }的极限存在,从而{ Xn } 收敛.
(3). 用Cauchy准则定理来证明致密性定理:
证明,设为一有界无穷序列,不妨设
① 若中有无穷多项相等,则把这无穷多项取出作为一个子列,由C准则的充分性,收敛
② 若中相等的项只有有限项,有有界,则以下结论成立:对于 >0,N,使当m,n>N时,| Xn - Xm |< 。把这样的Xm,Xn放在一起构成一个集合A { Xn},再由Cauchy准则定理的充分性知. A收敛.从而致密性定理得证。
(4).用致密性定理来证明聚点定理:
证明,由于对于任何的有界无穷集{Xn},根据致密性定理,必有收敛子列{ Xn k}.不妨设a=lim{ Xn k}(k ).则对于 >0,U(a; )有{ Xn }中的无穷多项.根据聚点的定义知,a为{Xn}的聚点,从而聚点定理得证.
(5).用聚点定理来证明闭区间套定理:
证明,若{an}单调递增,{ bn }单调递减,an bn,bn - an0,则{[ an, bn]} 为闭区间列,{an},{ bn }而为两个有界的无穷集,{an}有上界,{bn}有下界,则E={ an }U{bn }为有界无穷点集,有聚点定理,E中存在唯一的聚点a,使得an a bn.从而闭区间套定理得证.
(6).用闭区间套定理来证明有限覆盖定理:
证明,设 为的一个覆盖,反设中不存在的有限覆盖,即中任何一个有限开区间都不能覆盖[a,b],将[a,b]分为[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b],则这两个小区间中至少有一个被中的有限个开区间覆盖,选之记为[a1,b1],将这一过程不断地进行下去,得到一个闭区间列{[an,bn]},满足:
①[an ,bn] [an +1, bn +1]
②bn- an 0,即lim(bn - an)=0 (n ).
③ 任何一个都不能被中的有限个开区间覆盖,由知存在一点a,使得,显然。因此 中至少存在一个开区间s,使a∈s,必有[an, bn] s,即被一个开区间s覆盖,与③矛盾.故反设错误, 中存在的有限覆盖.
(7).用有限覆盖定理来证明确界原理:
证明,设 R, 有 。任取一点 0∈ 。考虑闭区间[ 0, ,],假若 上无上确界(最小上界),那么 [ 0, ):
ⅰ)当 为 的上界时,必有更小的上界 1< ,因而 有一开邻域,其中皆为E的上界;
ⅱ)当 不是 的上界时,自然有E中的点 2> ,于是 有开邻域 x,其中每点皆不是E的上界。
[ 0, ]上没电都找出一个邻域x,他要么属于第一类(每点为上界),要么属于第二类(每点皆不是上界)。这些邻域{ x: [ 0, ]},组成闭区间[ 0,]的一个开覆盖,由有限覆盖定理,必存在有限覆盖{ 1,…, n}。注意,M所在的开区间,应为第一类的,相邻接的开区间n有公共点,也应为第一类的,经过有限次邻接,可知 0所在的开区间也是第一类的。这便得出矛盾。
其实,还有其他的方法可以证明此定理,上面只是其中的一种而已,我们可以用闭区间套定理来证明确界定理,单调有界原理,Cauchy 准则,致密性定理,聚点定理。也可以用确界定理,单调有界原理,Cauchy准则,致密性定理,聚点定理来证明区间套定理;用有限覆盖定理来证明确界定理,单调有界原理,Cauchy准则,致密性定理,聚点定理,区间套定理。也可以用确界定理,单调有界原理,Cauchy 准则,致密性定理,聚点定理,区间套定理来证明有限覆盖定理。
参考文献:
[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,2007
[2]裴礼文.数学分析的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993
联系客服