关于“数学”的对话(123)请各位博友、网友,特别是有关专家,批评指正:“费马大定律”的简单、完善证明
(接(122))
1.所谓“费马大定律”
设p是大于2的正整数,则不定方程x^p+y^ p =z^ p没有非零整数解 (1)
2.正整数仅有的两种表达式
根据众所熟知的所有正整数的特性:正整数的任意的和、乘积、正乘方都仍然是正整数。但是其它的各种运算,例如:减、除、负乘方、开方、或取:对数、指数、3角函数、或其它特殊函数等等,就都不能保证其结果是正整数,就可,且仅可,将任意的正整数f(n)普遍表达为:
f(n) =((a[j]n^j);j由0到无穷大求和)^b ((c[j]n^j); j由0到无穷大求和)^d, (2)
其中,j,b,d均为任意的大于0的正整数,n, a[j], c[j]均为任意的正整数,^b是b
次方,[j] 是“足标”j,可称f(n)为正整数,n, 的正整数函数。
正整数函数,f(n),可仅分为偶数和奇数两种,因而可,且仅可,具体表达
为如下两种函数形式:
f(n) = g[1](n)+或-g[2](n) , g[1](n), g[2](n), 也分别都是如(2)的,正整数n的正整数函数,且g[1](n)大于g[2](n)。当g[1](n)与g[2](n)都是偶数或奇数;则f(n)必为偶数,当g[1](n)与g[2](n)分别是偶数和奇数;则f(n)必为奇数。因而,这样表达的f(n),就能表达所有可能的正整数。 (3)
f(n) = m (2g(n) +或-1) , g(n) 也是如(2)的,正整数n的正整数函数,m为大于0的正整数, (2g(n) +或-1) 表达了正奇数函数所有可能的形式;再乘以可为奇或偶数的m,这样表达的f(n),就也能表达所有可能的正整数。 (4)
(3)和(4)都是能表达所有可能的正整数的函数形式,都分别仅有不同的“两项”,就可以利用2项式,具体表达它们的任意次方。而且,除此而外,已再没有其它不同的形式,而有利于证明这个“费马大定律”。
3.按2项式公式,分别表达两种形式的正奇数函数的p次方
按(3),即有: f (n))^p= (g[1](n) +或-g[2](n))^p
=((g[1](n))^p+( 1)C{1,p}(g[1](n))^(p-1)g[2](n)
+( 1)^2 C{2,p} (g[1](n))^(p-2)(g[2](n))^2
+…+( 1)^(p-1) C{(p-1),p}g[1](n)(g[2](n)) ^(p-1)+( 1)^p(g[2](n))^p, (5)
(g[1](n)+g[2](n))^p-(g[1](n)-g[2](n))^p
= 2C{1,p}(g[1](n))^(p-1)g[2](n)+2C{3,p}(g[1](n))^(p-3)(g[2](n))^3+ …
+2C{(p-1),p}g[1](n)(g[2](n))^(p-1)(p偶数)+2(g[2](n))^p(p奇数)
=2(g[1](n))g[2](n)( C{1,p}(g[1](n))^(p-2)+C{3,p}(g[1](n))^(p-4)(g[2](n))^2
+…+C{(p-1),p}(g[2](n))^(p-2))(p偶数)
或=2g[2](n)(C{1,p}(g[1](n))^(p-1)+C{3,p}(g[1](n))^(p-3)(g[2](n))^2
+…+(g[2](n))^p(p奇数) , (6)
按(4),即有:(f(n))^p= (2g (n) +或-1)^p
=((2g(n))^p+( 1)C{1,p}(2g(n))^(p-1)+( 1)^2C{1,p}(2g (n))^(p-2)
+…+( 1)^(p-1)C{(p-1),p}(2g(n)) +( 1)^p, (7)
(2g(n)+1)^p-(2g(n)-1)^p
= 2C{1,p}(2g(n))^(p-1)+2C{3,p}(2g(n))^(p-3) + …
+2C{(p-1),p}(2g(n))(p偶数)+2(p奇数),
=2(2g (n))(C{1,p}(2g(n))^(p-1)+C{3,p}(2g(n))^(p-3)+…+C{(p-1),p})(p偶数)
或=2(2g (n))(C{1,p}(2g (n))^(p-1)+C{3,p}(2g (n))^(p-3)+…+1(p奇数) , (8)
其中C{x,p}=((p-j);j从0到x-1求积) /x!, 是从p个中取出x个的组合数。
4.当p大于2
按(3),因(6)式中至少有两项不=0,(6)式就都不可能以任何方式表达为:某个正整数n的正整数函数g[3](n)的p次方,( g[3](n))^p。按(3),就都不可能有:
(g[1](n)-g[2](n))^p+(g[3](n))^p= (g[1](n)+g[2](n))^p。 (20)
按(4),即使选取任何形式的正整数函数h(n),也都不可能有:
(m (pg(n) +或-1))^p
+(m((h(n))^p/ C{(p-1),p}+( +或-1) C{1,p} (h(n))^(p-1)/ C{(p-1),p}
+(+或-1)^2 C{2,p} (h(n))^(p-2)/ C{(p-1),p}
+…+ (+或-1)^(p-1)pg(n)))^p
=(m((h(n))^p/ C{(p-1),p}+( +或-1) C{1,p}(h(n))^(p-1)/ C{(p-1),p}
+( +或-1)^2 C{2,p}(h(n))^(p-2)/C{(p-1),p}
+…+(+或-1)^(p-1)(pg(n)+( +或-1))))^p, (21)
因为:
((h (n))^p/C{(p-1),p}+( +或-1)C{1,p}(h(n))^(p-1)/C{(p-1),p}
+( +或-1)^2 C{2,p} (h(n))^(p-2)/C{(p-1),p}
+…+(+或-1)^(p-1)(pg(n)+( +或-1)))^p
= ((h(n))^p/ C{(p-1),p}+( +或-1)C{1,p}(h(n))^(p-1)/ C{(p-1),p}
+( +或-1)^2C{2,p}(h(n))^(p-2)/ C{(p-1),p})^p
+ (+或-1)^(p-1)C{1,p}(pg(n)+(+或-1))((h (n))^p/C{(p-1),p}
+( +或-1)C{1,p}(h(n))^(p-1)/ C{(p-1),p}
+( +或-1)^2 C{2,p}(h(n))^(p-2)/ C{(p-1),p})^(p-1)
+ (+或-1)^(2p-2)C{2,p}(pg(n)+( +或-1))^2((h (n))^p/C{(p-1),p}
+( +或-1) C{1,p}(h(n))^(p-1)/ C{(p-1),p}
+( +或-1)^2 C{2,p}(h(n))^(p-2)/C{(p-1),p})^(p-2)
+…+ (+或-1)^(p^2-p)(pg(n)+( +或-1))^p, (22)
((h (n))^p/C{(p-1),p}+( +或-1) C{1,p} (h(n))^(p-1)/ C{(p-1),p}
+( +或-1)^2 C{2,p}(h(n))^(p-2)/C{(p-1),p}
+…+(+或-1)^(p-1)pg(n))^p
= ((h(n))^p/C{(p-1),p}+(+或-1)C{1,p}(h(n))^(p-1)/C{(p-1),p}
+( +或-1)^2 C{2,p} (h(n))^(p-2)/ C{(p-1),p})^p
+(+或-1)^(p-1)C{1,p}pg(n)((h(n))^p/C{(p-1),p}
+(+或-1)C{1,p}(h(n))^(p-1)/C{(p-1),p}
+( +或-1)^2C{2,p}(h(n))^(p-2)/ C{(p-1),p})^(p-1)
+(+或-1)^(2p-2) C{2,p} (pg(n))^2 ((h(n))^p/ C{(p-1),p}
+(+或-1) C{1,p}(h(n))^(p-1)/ C{(p-1),p}
+( +或-1)^2 C{2,p}(h(n))^(p-2)/C{(p-1),p})^(p-2)
+…+ (+或-1)^(p^2-p)(pg(n))^p, (23)
显然,当p大于2 ,(22)与(23) 之差中,也只有 C{x, p}-C{(p-x),p}=0,而都至少有两项不=0,而不可能=(pg(n)+( +或-1))^p。这就证明了:只要p大于2,此两种可能形式的正整数函数,都不可能使x^p+y^p=z^p 成立。 即:方程x^p+y^p=z^p不可能有整数解。
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