应凯撒的要求，发点高等数学中比较基础的东西上来。
前一段时间，论坛上大家一直在争论一些关于数的存在性的问题，比如存不存在一个比任何形如0.000…1(有限个1)都要小的正数，存不存在比任何有限的数都大的“无穷大”。这些问题其实是无法直接回答的，因为回答这些问题涉及到一个根本的问题：什么是实数。
实数是定义出来的，我们定义它是什么，它就是什么。比如你问，存不存在一个实数的平方等于2？答案是存在，我们定义的实数里有这样一个数。再问，有没有一个数的平方为-1？答案是不存在，我们定义的实数里没有。或者不如这样说，平方等于-1的那个东西我们不管它叫实数（而叫虚数）。
虽然人们一直在用实数，但最早人们只是把实数当作线段长度的度量。历史上有三次著名的数学危机，前两次都是由对实数的认识太模糊引起的。第一次是根号2的存在性，第二次是关于数学分析的严格化，其中一个关键就是无穷小量的严格定义。十八世纪的微积分中，无穷小量是一个幽灵。十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
这一套理论的建立有两个标准的方法，一是由自然数一步一步地构造出实数，一是直接给出刻画实数性质的所有公理。本文介绍第二种方法。
实数公理分为几部分：
一、加法
1、
加法是封闭的：即两个实数的和还是实数。由此可以得出有限个数相加的和是实数。但是对于无穷多个实数的和，这条公理没有提供任何信息
2、
加法满足交换率、结合率。
3、
存在一个实数e,使得对任何实数a，有e + a = a。这个元素称为单位元，一般记为0.
4、
对每个实数a，都有一个实数b，使得a + b = 0。记b 为 –a,称为a的逆元。
满足这样的四条性质的一个代数体系叫一个阿贝尔群(abelian group)。
二、乘法
乘法在除去0以外的实数上构成一个阿贝尔群，单位元记为1，a的逆元记为a^-1。
三、加乘结合率
a * ( b + c ) = a * b + a * c
四、序关系
1、任何两个数可以比较大小 即对于不同的x、y, x < y 和 y < x必有其一。
2、x < x永远不成立。
3、x < y , y < z能推出x < z。
满足2,3的关系叫（严格）偏序关系，满足1,2,3的叫全序关系（simple ordering/ total ordering/ linear ordering）
4、x > y 推出 x + z > y + z
5、x > y , z > 0推出 xz > yz。
满足以上公理的系统叫做一个有序域。实数的大部分性质都可以由上面公理的推出来。作为练习，你可以证明一下x > y 推出 - x < -y; x > y , z < 0推出xz <
然而这些并不能刻画实数的全部性质，可以验证，有理数也完全满足以上的公理，因此我们要再添加一条公理。
五、完备性
实数的一个子集S，如果它有上界，则必有上确界。
解释一下几个概念：实数一个子集S是指一个包含一些实数的集合。有上界是指存在一个M，使得对所有的x属于S，都有x<M。上确界是指最小的上界。
这个性质好像是显然的，但是在有理数域上却不成立。比如{x| x^2<2且x>0}，它是有上界的（在有理数中），但是它在有理数中却没有上确界。可以验证，如果它有上确界，那么上确界s必须满足s^2=2。而这样的有理数是不存在的。
通过上一段的讨论，由于公理5要求这个集合必有上确界，也就推出了：存在一个实数，它的平方是2.
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