已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b为常数,且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x),且方程f(x)=2x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]?如果存在,求出m、n的值;如果不存在,说明理由.
重要的事说三遍:
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答案
(1)f(x)=-x2+2x
(2)存在m=-1,n=0,满足条件
解析
(1) f(x)=-x2+2x.
(2)由f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,知fmax(x)=1,∴ 4n≤1,即n≤
<1.
故f(x)在[m,n]上为增函数,∴
解得
∴存在m=-1,n=0,满足条件
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