【题目呈现】
如下图，已知抛物线y=ax²十bx十c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，一1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，点P是抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴交AC于点D.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标;
(3)在问题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标;若不存在，请说明理由.
【思路分析】
(1)由于已知抛物线的顶点坐标，所以可设抛物线解析式为顶点式，然后将点C坐标代入，即可求出抛物线的解析式;
(2)由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，只有两种情况:①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，P点位于x轴上(即与B点重合)，可求P点坐标;②以点A为直角顶点，由于OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，而DP∥y轴，所以D、P两点关于x轴对称，这时可求出直线AC的解析式，设出D、P两点相同的横坐标，纵坐标分别由直线AC和抛物线的解析式表示出来，而D、P两点关于x轴对称，纵坐标互为相反数，相加为零，可求出点P的坐标;
(3)很显然，当P、B两点重合时，不能构成符合条件的平行四边形，因为此时点E、P、A三点都在x轴上。所以只有②中的一种情况符合题意，由②知此时点P、Q重合，假设存在符合条件的平行四边形，则点F只能在x轴上方的抛物线上，此时PF为平行四边形的对角线，则F、P点的纵坐标互为相反数，将这一纵坐标代入抛物线的解析式，可求出点F的坐标。
【答案与解析】
解:(1)∵抛物线的顶点为Q(2，一1)，∴设其解析式为y=a(x一2)²一1，又点C(0，3)在抛物线图象上，代入可得a(0一2)²一1=3，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=(x一2)²一1，即y=x²一4x+3.
(2)∵DP∥y轴，∴∠ADP≠90°，∴分两种情况讨论:如下图
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合，令y=0。得x²一4x十3=0，解得x1=1，x2=3，∵点A在点B的右侧，∴B(1，0)，A(3，0)，∴P1(1，0).
②当点A为△AP2D2的直角顶点时，∵OA=OC=3，∠AOC=90°，∴∠OAD2=45°，当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°∴AO平分∠D2AP2，又P2D2∥y轴，∴P2D2⊥AO，∴点P2、D2关于x轴对称，易知直线AC的解析式为y=一x+3，又∵D2点在直线AC上，P2点在抛物线上，∴可设D2点坐标为(x，一x+3)，P2点坐标为(x，x²一4x+3)，∴(一x+3)十(x²一4x+3)=0，解之得x1=2，x2=3(舍去)，当x=2时，y=x²一4x+3=2²一4×2十3=一1，∴P2点坐标为(2，一1)(即为抛物线的顶点Q.
综上所述，当△ADP为直角三角形时，点P的坐标为(1，0)或(2，一1).
(3)如下图
由题(2)知，当点P的坐标为P1(1，0)时，点E、P、A都在x轴上，不能构成否合条件的平行四边形，当点P的坐标为P2(2，一1)时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点F，当AP=AF时，四边形PAFE为平行四边形，此时PF为平行四边形的对角线，点F只能在x轴上方的抛物线上，点F与点P的纵坐标互为相反数，故可设点F为(x，1)，∴x²一4X十3=1，解之得x1=2一√2，x2=2十√2，∴符合条件的点F的坐标为(2一√2，1)或(2+√2，1).
【反思】
有关二次函数的压轴题，类型基本相似，就是遇到不同的几何图形，考虑相应的性质，同时注意，特殊情况下的可能性与不可能性，灵活运用，平移，对称等性质，为解题带来方便。
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